Matematyka.pl

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{\sqrt{6t-t^2} }=\left( \sqrt{6t-t^2} \right)^{-1} \\ \\
f'(x) = \left( \sqrt{6t-t^2} \right)^{-2} \cdot (6t-t^2)'= \frac{6-2t}{ \left( \sqrt{6t-t^2}\right)^2}}\)
Coś nie tak licze powinno wyjść w ten sposób:\(\displaystyle{ \frac{t-3}{ \left( \sqrt{6t-t^2} \right)^3 }}\)
I jeszcze to \(\displaystyle{ x=a \sin(bt)}\) i ma wyjsc \(\displaystyle{ ab \cos(bt)}\)
wiem ze pochodna \(\displaystyle{ \sin}\) to \(\displaystyle{ \cos}\), ale skad to \(\displaystyle{ bt}\) z przodu i tylu.

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{6t-t^{2}} } = (6t-t^{2})^{- \frac{1}{2}}}\)
teraz policz a w twoim źle liczysz przy drugim kroku, bo jest jeszcze funkcja pierwiastka a nie od razu kwadratowa...

a to drugie jest tak:
\(\displaystyle{ (asin(bt))'=a(sin(bt))'=acos(bt)(bt)'=acos(bt)b=abcos(bt)}\)

coś tutaj psuje w tym pierwszym\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{6t-t^{2}} } = (6t-t^{2})^{- \frac{1}{2}}=(- \frac{1}{2})(6t-t ^{2}) ^{-3/2}(6t-t ^{2})'=(- \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{(6t-t ^{2}) ^{3/2}} \cdot 6-2t= \frac{2t-3}{( \sqrt{6t-t ^{2} }) ^{3} }}\)

mianownik robisz dobrze tylko jak bierzesz pochodną z \(\displaystyle{ (6t-x^{2})'= 6-2x}\) i skracasz z tym ułamkiem \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\) i licznik wychodzi \(\displaystyle{ x-3}\)

ale skróce 6 z 2 to wychodzi 3 zgadza sie ale zostaje 2x a ma wyjsc x tylko. chyba, ze to ja juz dzisiaj nie mysle. jak to ma byc?

no bo skracasz i to i to:
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2}(6-2t)=- \frac{1}{2}*6-(- \frac{1}{2})2t=-3+t}\)

no tak, najprostsze zawsze nie wydaje sie oczywiste. Dzieki wielkie

darphus pisze:coś tutaj psuje w tym pierwszym\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{6t-t^{2}} } = (6t-t^{2})^{- \frac{1}{2}}=(- \frac{1}{2})(6t-t ^{2}) ^{-3/2}(6t-t ^{2})'=(- \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{(6t-t ^{2}) ^{3/2}} \cdot 6-2t= \frac{2t-3}{( \sqrt{6t-t ^{2} }) ^{3} }}\)

Witam,
Zacząłem od wczoraj rozwiązywać pochodne z Krysickiego, Włodarskiego. I zatrzymałem się na przykładach gdzie jest \(\displaystyle{ \frac{cos}{ \sqrt{cos +- cos} }}\).
W przykładzie który jest omawiany w tym temacie nie wiem skąd się wzięło:
\(\displaystyle{ (- \frac{1}{2})(6t-t ^{2}) ^{-3/2}(6t-t ^{2})'}\)

Dlaczego jeszcze raz trzeba pomnożyć przez pochodna z \(\displaystyle{ (6t-t ^{2})'}\) ??

Jest jakiś ogólny wzór na pochodne gdzie w mianowniku jest pierwiastek ??

\(\displaystyle{ (- \frac{1}{2})(6t-t ^{2}) ^{-3/2}(6t-t ^{2})'}\) jak to skąd się wzięło?

A znasz wzór? Na pochodną \(\displaystyle{ x^n}\)?
\(\displaystyle{ (x^n)'=nx^{n-1}}\)

Stąd... to \(\displaystyle{ (- \frac{1}{2})(6t-t ^{2}) ^{-3/2}(6t-t ^{2})'}\)


Jeżeli natomiast nie wiesz dlaczego
\(\displaystyle{ (6t-t ^{2})'}\)

Bo tam jest złożenie...
\(\displaystyle{ f(x)=t^ {-\frac{1}{2}}}\)
\(\displaystyle{ g(x)=6t-t^2}\)



Natomiast co do Twojego drugiego przykładu...
To coś mi nie pasuje... \(\displaystyle{ \sqrt{cos-cos}}\) ?

Kamil Wyrobek pisze:
A znasz wzór? Na pochodną \(\displaystyle{ x^n}\)?
\(\displaystyle{ (x^n)'=nx^{n-1}}\)

Znam i zgodnie z tym wzorem ( i moją wiedzą )

\(\displaystyle{ \left( 6t - t ^{2} \right) ^{ -\frac{1}{2} } = (- \frac{1}{2})(6t-t ^{2}) ^{- \frac{3}{2} }}\)

Kamil Wyrobek pisze: Jeżeli natomiast nie wiesz dlaczego
\(\displaystyle{ (6t-t ^{2})'}\)

Bo tam jest złożenie...
\(\displaystyle{ f(x)=t^ {-\frac{1}{2}}}\)
\(\displaystyle{ g(x)=6t-t^2}\)

Właśnie tego nie wiem. Jakie złożenie ?? Nie mogę załapać o co Ci chodzi i z ta pochodna (z pod pierwiastka z mianownika). Ale już wiem, że musi być bo w innych przykładach dopiero po jej dodaniu wychodzą mi prawidłowe wyniki. Chciałbym tylko zrozumieć skąd to się bierze.

Tak jak pisałem w innym temacie...
staram się tłumaczyć ludziom to w ten sposób...



\(\displaystyle{ [(sinx)^6]'}\) co policzyłbyś tu na samym początku...?

Chyba \(\displaystyle{ sinx}\) prawda? No właśnie...
więc funkcją wewnętrzną jest \(\displaystyle{ sinx}\)

A co później?
\(\displaystyle{ (sinx)^6}\) ale za ten \(\displaystyle{ sinx}\) podstawiasz sobie w myślach x

i masz ... złożenie składające się z...

\(\displaystyle{ g(x)=x^6}\) oraz... \(\displaystyle{ h(x)=sinx}\)

Starałem się wyjaśnić bardzo na "chłopski" rozum



I teraz... liczmy tak...

f'(x)=g'(x)*h'(x)

Wracając... do funkcji... \(\displaystyle{ f'(x)=(x^6)' * (sinx)'}\)
No więc policzmy to...

Pochodna \(\displaystyle{ x^6}\) to po prostu \(\displaystyle{ 6x^5}\) ale należy pamiętać, że
kiedyś w myślach za x podstawiliśmy sinx, a teraz musi on wrócić na miejsce.

Natomiast pochodna sinx to po prostu cosx, więc mamy:

\(\displaystyle{ f'(x)=6sin^5x * cos}\)



Pisz jeżeli czegoś nie rozumiesz...

Kamil Wyrobek, trochę ci się miksują te zmienne... Sam bym chyba nie zrozumiał ;p
Jeśli chodzi o wyprowadzenie wzoru na pochodną złożenia funkcji, można to bardzo ładnie zapisać w ten sposób, odrobinę symbolicznie:

\(\displaystyle{ \left( f \big( g(x) \big) \right)' = \frac{ \mbox{d} f(g(x)) }{\mbox{d} x } = \frac{ \mbox{d} f(g(x)) }{\mbox{d} g(x)} \cdot \frac{ \mbox{d} g(x) }{\mbox{d} x } = f' \big( g(x) \big) \cdot g'(x)}\).

Bardzo podobnie dowodzi się tego korzystając z definicji, tzn. licząc granicę.

Dasio11 ja też umiem definicję... ale wydawało mi się, że ON Z TEJ DEFINICJI NIC nie zrozumie... dlatego starałem się zapisać to tak jakby NIGDY nie miał styczności. Obstawiam, że on tak jak ja nie jest na UJ xD na Matematyce tylko na zwykłej Politechnice

Aczkolwiek... tak tak masz rację...

Obstawiam, że on tak jak ja nie jest na UJ xD na Matematyce tylko na zwykłej Politechnice

Piszesz z gościem, który jeszcze na studiach nie jest ;] I ludzie z polibudy spokojnie sobie radzą z takimi definicjami.

A wystarczyło prowadzić nową zmienną np \(\displaystyle{ w=sinx}\) i już by było jaśniej

miodzio1988 pisze: Piszesz z gościem, który jeszcze na studiach nie jest ;]

Jest

miodzio1988 pisze: I ludzie z polibudy spokojnie sobie radzą z takimi definicjami.

Nie wszyscy.

Kamil dzięki za pomoc.