Matematyka.pl

Witam, czy moje rozumowanie jest prawidłowe:
\(\displaystyle{ \int_{ \pi }^{ \infty } \frac{1+\cos x}{x+ x^{ \frac{1}{2} } }dx }\)
\(\displaystyle{ 0 \le \frac{1}{x+ x^{ \frac{1}{2} } } \le \frac{\cos x+1}{x+x^{ \frac{1}{2} } } }\) Kryterium porównawcze
\(\displaystyle{ 0 \le \frac{1}{2x} \le \frac{1}{x+ x^{ \frac{1}{2} } } }\) Całka \(\displaystyle{ \int_{ \pi }^{ \infty } \frac{1}{2x}}\) jest rozbieżna więc
\(\displaystyle{ \int_{ \pi }^{ \infty } \frac{1}{x+ x^{ \frac{1}{2} } } }\) też jest rozbieżna, więc też rozbieża będzie nasza wyjściowa całka.

A to oszacowanie

NumberTwo pisze: ↑16 mar 2024, o 12:01 \(\displaystyle{ \frac{1}{x+ x^{ \frac{1}{2} } } \le \frac{\cos x+1}{x+x^{ \frac{1}{2} } } }\)

to skąd wziąłeś?

JK

A fakt, chyba, źle to oszacowałem, bo jakby teraz cos przyjał -1 to nierównośc nie będzie spełniona

Dodano po 1 godzinie 26 minutach 43 sekundach:
Mam jeszcxze jedno pytanie do innego przykładu, też trzeba zbadać zbieżność:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{ \infty } x^{2}\tg\left( \frac{1}{ x^{3} } \right) dx }\)
\(\displaystyle{ f(x) = x^{2}\tg\left( \frac{1}{ x^{3} }\right) >0 }\)
\(\displaystyle{ g(x) = \frac{1}{x} >0}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{ x^{2}\tg( \frac{1}{ x^{3} })}{ \frac{1}{x} } =\lim_{ x\to \infty } \frac{ x^{2}\tg( \frac{1}{ x^{3} })}{ x^{2} \cdot \frac{1}{ x^{3} } } }\) i to z granic podstawowych wychodzi że tak granica to 1, czyli obie calki są zbiezne lub rozbieżne, ale że cała z \(\displaystyle{ \frac{1}{x} }\) jest rozbieżna to wyjściowa całka też jest rozbieżna.

\(\displaystyle{ \int_{ \pi }^{\infty} \frac{1+\cos x}{x+ x^{\frac{1}{2}}}dx .}\)

Kryterium porównawcze rozbieżności

\(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty} -\frac{1}{2x} dx \leq \int_{\pi }^{ \infty } \frac{1+\cos x}{x+ x^{\frac{1}{2}}}dx.}\)

Całka

\(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty} -\frac{1}{2x}dx = \ \ ... }\)

Co to w ogóle jest???

\(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty} -\frac{1}{2x}dx = \ \ ... }\)



Ta ostatnia całka zbieżnością bije po oczach...

\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\int_{\pi}^{\infty} \frac{1}{x} dx =\left [-\frac{1}{2} \ln(x)\right]_{\pi}^{x\to \infty} = -\infty + \frac{1}{2}\ln(\pi) = -\infty.}\)

Boję się, że straci Pan wzrok.

Na razie nie straciłem, ale czego to dowodzi?

Badana całka jest rozbieżna.

To wykaż to...

janusz47 pisze: ↑16 mar 2024, o 20:19 Badana całka jest rozbieżna.

Oszacowanie od dołu przez wyrażenie rozbieżne do minus nieskończoności nie daje żadnych informacji.

JK

\(\displaystyle{ x \ge \pi}\)

\(\displaystyle{ \int_{\pi}^{ \infty } \frac{1+\cos x}{x+ \sqrt{x} } dx > \frac{1}{2} \int_{\pi}^{ \infty } \frac{1+\cos x}{x} dx= \frac{1}{2} \int_{\pi}^{ \infty } \frac{dx}{x} + \frac{1}{2} \int_{\pi}^{ \infty } \frac{\cos x}{x} dx}\)

Góra w wyjściowej całce jest nieujemna , a na końcu pierwsza całka rozbieżna a druga zbieżna oczywiście myślę, że Janusz to wykaże...

Jeśli oszacowanie od dołu do minus nieskończoności nie daje żadnych informacji. to prawdziwa jest nierówność

\(\displaystyle{ \cos(x) \leq x }\) dla \(\displaystyle{ x\geq \pi.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty}\frac{1-x}{2x}dx \leq \int_{\pi}^{\infty}\frac{1+\cos(x)}{x + \sqrt{x}} dx }\)

Całka \(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty}\frac{1-x}{2x} dx }\) jest rozbieżna do plus nieskończoności, zatem badana całka jest rozbieżna.

janusz47 pisze: ↑16 mar 2024, o 22:41\(\displaystyle{ \cos(x) \leq x }\) dla \(\displaystyle{ x\geq \pi.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty}\frac{1-x}{2x}dx \leq \int_{\pi}^{\infty}\frac{1+\cos(x)}{x + \sqrt{x}} dx }\)

A mógłbyś wyjaśnić, jaki związek ma nierówność \(\displaystyle{ \cos(x) \leq x }\) z nierównością pomiędzy całkami?

Ciekawe jest też stwierdzenie

janusz47 pisze: ↑16 mar 2024, o 22:41Całka \(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty}\frac{1-x}{2x} dx }\) jest rozbieżna do plus nieskończoności

Mógłbyś to podeprzeć jakimś rachunkiem?

JK

Zadanie 2

\(\displaystyle{ \int_{1}^{\infty} x^2\tg\left(\frac{1}{x^3}\right)dx }\)

Rozbieżność tej całki zbadałeś poprawnie na podstawie kryterium ilorazowego.

Dodano po 25 minutach 3 sekundach:
\(\displaystyle{ \cos(x) }\) jest nie mniejszy od minus swojego argumentu.

Wystarczy takie oszacowanie:

\(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty} \frac{1+\cos(x)}{2x}dx \leq \int_{\pi}^{\infty} \frac{1+\cos(x)}{x+\sqrt{x}} dx }\)

\(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty} \frac{1+\cos(x)}{2x}dx = \int_{\pi}^{\infty}\frac{1}{2x}dx + \int_{\pi}^{\infty} \frac{\cos(x)}{2x}dx = \infty.}\)

janusz47 pisze: ↑16 mar 2024, o 23:25 \(\displaystyle{ \cos(x) }\) jest nie mniejszy od minus swojego argumentu.

Co nie ma żadnego związku z nierównością \(\displaystyle{ \cos(x) \leq x }\), na którą się powołałeś. Co i tak jest bez znaczenia o tyle, że całka \(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty}\frac{1-x}{2x} dx }\) jest rozbieżna do minus nieskończoności, a nie do plus nieskończoności, jak twierdziłeś.

janusz47 pisze: ↑16 mar 2024, o 23:25 Wystarczy takie oszacowanie:

\(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty} \frac{1+\cos(x)}{2x}dx \leq \int_{\pi}^{\infty} \frac{1+\cos(x)}{x+\sqrt{x}} dx }\)

\(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty} \frac{1+\cos(x)}{2x}dx = \int_{\pi}^{\infty}\frac{1}{2x}dx + \int_{\pi}^{\infty} \frac{\cos(x)}{2x}dx = \infty.}\)

Arek już to napisał, nie było potrzeba powtarzania. Lepiej byłoby uzasadnić, że całka \(\displaystyle{ \int_{\pi}^{\infty} \frac{\cos(x)}{2x}dx}\) jest zbieżna...

JK