Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Klaudiuska88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 6 sty 2023, o 21:00
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 17 razy

Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D

Post autor: Klaudiuska88 »

Zad. Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D ograniczonego krzywymi oraz narysować wykresy.



1)
\(\displaystyle{ x-y=0}\)
\(\displaystyle{ y=x}\)

2)
\(\displaystyle{ x+y=2}\)
\(\displaystyle{ y= -x +2}\)

3)
\(\displaystyle{ x=y^2-2y}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{x}{y-2} }\)

W 1) i 2) przykładzie jestem pewna wyliczenia, i wiem jak zrobić wykresy tych prostych, ale nie wiem jak zrobić wykres 3) ??
Jak znajdować te miejsca zerowe ? i to narysować. Wiem że to parabola jakby na boku ale co dalej..

Wychodzi coś takiego - Rys w załączniku.

No i dalej jak jak policzyć to pole ??

Rozdzieliłam to na dwa obszary D1 i D2:

D1:
\(\displaystyle{ 0 \le x \le 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{x}{y-2} \le y \le x}\)

D2:
i dalej nie wiem co robić ...

Bardzo proszę o wytłumaczenie co robić dalej, jak te obszary wyzaczyć i potem zapisać całkę podwójną.
Załączniki
325111661_487684563552201_8054772241415032838_n.png
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D

Post autor: a4karo »

A spróbuj zamienic `x` z `y` we wszystkich równaniach. to zamienia oś `X` z osią `y`. Zobaczysz równania do których jestes pewnie bardziej przyzwyczajona.

inna sprawa, że zadanie nie precyzuje o który obszar chodzi. Obstawiałbym ten mający trójkąt na prawo od osi OY i kawałek paraboli po lewej.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D

Post autor: janusz47 »

Prowadzimy prostą pionową \(\displaystyle{ x = 1 }\) (rys.)

Proste \(\displaystyle{ x = 0 }\) - (Oś \(\displaystyle{ y }\)) i prosta \(\displaystyle{ x = 1 }\) podzieliły obszar zawarty między krzywymi na sześć rozłącznych obszarów pomiędzy punktami ich przecięcia się:

\(\displaystyle{ I : (-1,1),(0,0),(0,2),}\)

\(\displaystyle{ II: (0,0),(1,1),(0,2), }\)

\(\displaystyle{ III: (0,0),(1,0),(1,1), }\)

\(\displaystyle{ IV:(0,2),(1,1),(1, \sqrt{2}+1), }\)

\(\displaystyle{ V:(1,0),(2,0),(1,1), }\)

\(\displaystyle{ VI: (1,1), (1, \sqrt{2}+1), (3,3).}\)

Obliczamy za pomocą całki podwójnej pola tych obszarów.

Dodano po 1 godzinie 7 minutach 35 sekundach:
Obszar I możemy pominąć, bo jest on zawarty pomiędzy tą samą krzywą i osią \(\displaystyle{ Oy. }\)
Klaudiuska88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 6 sty 2023, o 21:00
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 17 razy

Re: Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D

Post autor: Klaudiuska88 »

Chyba nie uczyli nas takiego rozumienia które podałeś.. ale dziękuje za pomoc.
Bo co to za obszar: (0,0), (1,1) (0,2) ? x,y,z ? nie rozumiem co to za płaszczyzna jest wg ?

Od nas wymagane jest w tym zadaniu, jak się domyślam wyznaczenie obszaru ograniczonego x" i y" funkcjami i prostymi.
Do takiego zapisu jestem przystwyczajona raczej.

Dodano po 2 minutach 19 sekundach:
a4karo pisze: 28 sty 2023, o 20:29 A spróbuj zamienic `x` z `y` we wszystkich równaniach. to zamienia oś `X` z osią `y`. Zobaczysz równania do których jestes pewnie bardziej przyzwyczajona.

inna sprawa, że zadanie nie precyzuje o który obszar chodzi. Obstawiałbym ten mający trójkąt na prawo od osi OY i kawałek paraboli po lewej.
Chyba dobrze zrozumiałeś mnie i mojego wykładowcę. Też tak myśle, tylko nie wiem jak ograniczyć ten obszar x i y ?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D

Post autor: a4karo »

Po obrocie od góry dwa odcinki prostych, od dołu parabola
Klaudiuska88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 6 sty 2023, o 21:00
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 17 razy

Re: Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D

Post autor: Klaudiuska88 »

a4karo pisze: 31 sty 2023, o 18:08 Po obrocie od góry dwa odcinki prostych, od dołu parabola
Nie wychodzi mi niestety to co mówisz.

Podzieliłam obszar na D1 i D2 , z powodu dwóch różnych funkcji "sufit"

D1:
\(\displaystyle{ 0 \le x \le 1}\)
\(\displaystyle{ -x+2 \le y \le \frac{x}{y-2} }\)

D2:
\(\displaystyle{ 1 \le x \le 3}\)
\(\displaystyle{ x \le y \le \frac{x}{y-2} }\)

Już obliczona całka po obszarze D1: daje wynik z y i co z tym zrobić ..
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D

Post autor: a4karo »

Ten obszar nie jest normalny względem osi OX. Dlatego lepiej całkować po osi oy
Klaudiuska88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 6 sty 2023, o 21:00
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 17 razy

Re: Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D

Post autor: Klaudiuska88 »

A mógłbyś mi wytłumaczyć albo ktokolwiek jak się znajduje/ określa obszar normalny ?
Bo ta ten problem nie pozwala mi rozwiązywać chyba takich całek.

Na tym przykładzie np.

Czyli jeśli obszar normalny ma przedziały jako liczby, a inny funkcje ?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D

Post autor: a4karo »

Sorry, bzdury gadam. Ten obszar jest oczywiście normalny.

OK. Przypuśćmy że mamy obliczyć pole obszaru, o którym pisałem (kawałek paraboli + trójkąt o wierzchołkach `(0,0), (0,2), (1,1)`

Mysisz sobie odpowiedzieć na kilka pytań:
1) jakie wartośći `x` opisują ten obszar? (ograniczenie z lewej i prawej, czyli `A\le x\le B`)
2) przy każdym ustalonym `x` jak wyglądają wartości `y` ograniczające do z dołu i z góry (te ygreki będą oczywiście zależne od `x`_
`y_1(x)\le y\le y_2(x)`

Uwaga: funkcje `y_1` i `y_2` mogą wyrażać się innymi wzorami w zależności od wartości `x`

Jak już to zrobisz, to wtedy liczysz całkę `\int_A^B \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} dy dx`

Dobrze zaczęłąs rachunki, ale nie możesz miec czegoś takiego jak \(\displaystyle{ y\le \frac{x}{y-2}}\). Musisz wyliczyć `y` w zależności od `x`

Niestety nie wiem czym są u Ciebie obszary `D_1` i `D_2`
Klaudiuska88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 6 sty 2023, o 21:00
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 17 razy

Re: Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D

Post autor: Klaudiuska88 »

Okej, więc chyba zrozumiałam.
Daje nowy przykład żebyś ocenił czy dobrze.

1)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=x-5 \\ y^2=2x-2 \end{cases} }\)

Wykres obszaru w załączniku 1).

\(\displaystyle{ -2 \le y \le 4}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}y^2+1 \le x \le y+5}\)

\(\displaystyle{ \int_{4}^{-2} [ \int_{ \frac{1}{2}y^2+1 }^{y+5} 1dx]dy = 28 }\)


2)
Ale wracając do drugiego przykładu, jeśli byłby to trójkąt powiedzmy o wierzchołkach - (0,2) (1,1) (3,3) 2)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=0 \\ y+x=2 \\ x=y^2-2y \end{cases} }\)
To wtedy byłoby tak, że na dwa obszary musiałabym rozpisać, o to mi chodzi z tymi D1 i D2

D1:

\(\displaystyle{ 0 \le x \le 1}\)
\(\displaystyle{ -x+2 \le y \le \frac{x}{y-2} }\)

D2:

\(\displaystyle{ 1 \le x \le 3}\)
\(\displaystyle{ x \le y \le \frac{x}{y-2} }\)
Załączniki
przykład 2 ) z trójkątem
przykład 2 ) z trójkątem
przykład 1)
przykład 1)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D

Post autor: a4karo »

Pierwszy przykłąd OK.
Drugi nie. Z rowności `y(y-2)=x` musisz wyłuskać `y`, czyli rozwiązać równanie kwadratowe
Klaudiuska88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 6 sty 2023, o 21:00
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 17 razy

Re: Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D

Post autor: Klaudiuska88 »

Teraz to już cie nie rozumiem.
Przecież obszar y musze zapisać z użyciem funkcji i uzależniłam ją od y".

Po co mi te m.zerowe.
\(\displaystyle{ y _{1} =0}\)
\(\displaystyle{ y _{2}= 2}\)

możesz ograniczyć D1 żebym mogła zobaczyć o co ci chodzi.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D

Post autor: a4karo »

Napisałem Ci, że nie wiem czym jest u Ciebie D1. Nie rozumiem o jakich miejscach zerowych piszesz. Nic takiego się nie pojawiło

Nierówność \(\displaystyle{ y<\frac{x}{y-2}}\) nie jest tym, o co chodzi. Masz wyrazić `y` przy pomocy `x`, a nie przy pomocy `x` i `y`

Dodano po 4 minutach 48 sekundach:
OK. Zgaduję czym sa te obszary: podzieliłąś górny trójkąt krzywoliniowy prostą `x=1` na dwa obszary. I to jest ok. Musisz tylko poprawnie opisać górny brzeg tych obszarów, czyli wyliczyć `y` z równania `y(y-2)=x`. I prawa strona nie może zależeć od `y`

Dodano po 8 minutach 11 sekundach:
Całka wychodzi nieciekawa, prawda?

Dlatego lepiej to zrobić tak, jak zrobiłaś ten drugi obrazek.

\(\displaystyle{ P=\int_1^2 \left(\int_{?}^{?} dx\right)dy + \int_2^3 \left(\int_{?}^{?} dx\right)dy}\)
Klaudiuska88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 6 sty 2023, o 21:00
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 17 razy

Re: Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D

Post autor: Klaudiuska88 »

Teraz to cie już nie rozumiem...

Napisałeś na zewnatrz granice całkowania y --> kiedy funkcja nie przechodzi przez 2 w obszarze tego trójkąta, wiec to jest nie mozliwe.
Napisz te granice to moze ogarne, wędka już była, i łowiłam.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D

Post autor: a4karo »

Klaudiuska88 pisze: 1 lut 2023, o 13:07Ale wracając do drugiego przykładu, jeśli byłby to trójkąt powiedzmy o wierzchołkach - (0,2) (1,1) (3,3) 2)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=0 \\ y+x=2 \\ x=y^2-2y \end{cases} }\)
To wtedy byłoby tak, że na dwa obszary musiałabym rozpisać, o to mi chodzi z tymi D1 i D2

D1:

\(\displaystyle{ 0 \le x \le 1}\)
\(\displaystyle{ -x+2 \le y \le \frac{x}{y-2} }\)

D2:

\(\displaystyle{ 1 \le x \le 3}\)
\(\displaystyle{ x \le y \le \frac{x}{y-2} }\)
I to jest prawie ok, tylko musisz wyrazić `y` w obu drugich nierównościach tak, żeby to `y` nie zależało od `x` i `y` lecz tylko od `x`. Innymi słowy, musisz obliczyć `y` z równania `y(y-2)=x`
ODPOWIEDZ