Zad. Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D ograniczonego krzywymi oraz narysować wykresy.
1)
\(\displaystyle{ x-y=0}\)
\(\displaystyle{ y=x}\)
2)
\(\displaystyle{ x+y=2}\)
\(\displaystyle{ y= -x +2}\)
3)
\(\displaystyle{ x=y^2-2y}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{x}{y-2} }\)
W 1) i 2) przykładzie jestem pewna wyliczenia, i wiem jak zrobić wykresy tych prostych, ale nie wiem jak zrobić wykres 3) ??
Jak znajdować te miejsca zerowe ? i to narysować. Wiem że to parabola jakby na boku ale co dalej..
Wychodzi coś takiego - Rys w załączniku.
No i dalej jak jak policzyć to pole ??
Rozdzieliłam to na dwa obszary D1 i D2:
D1:
\(\displaystyle{ 0 \le x \le 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{y-2} \le y \le x}\)
D2:
i dalej nie wiem co robić ...
Bardzo proszę o wytłumaczenie co robić dalej, jak te obszary wyzaczyć i potem zapisać całkę podwójną.
Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D
-
Klaudiuska88
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 6 sty 2023, o 21:00
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 13 razy
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 21194
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 3582 razy
Re: Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D
A spróbuj zamienic `x` z `y` we wszystkich równaniach. to zamienia oś `X` z osią `y`. Zobaczysz równania do których jestes pewnie bardziej przyzwyczajona.
inna sprawa, że zadanie nie precyzuje o który obszar chodzi. Obstawiałbym ten mający trójkąt na prawo od osi OY i kawałek paraboli po lewej.
inna sprawa, że zadanie nie precyzuje o który obszar chodzi. Obstawiałbym ten mający trójkąt na prawo od osi OY i kawałek paraboli po lewej.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7653
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 1627 razy
Re: Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D
Prowadzimy prostą pionową \(\displaystyle{ x = 1 }\) (rys.)
Proste \(\displaystyle{ x = 0 }\) - (Oś \(\displaystyle{ y }\)) i prosta \(\displaystyle{ x = 1 }\) podzieliły obszar zawarty między krzywymi na sześć rozłącznych obszarów pomiędzy punktami ich przecięcia się:
\(\displaystyle{ I : (-1,1),(0,0),(0,2),}\)
\(\displaystyle{ II: (0,0),(1,1),(0,2), }\)
\(\displaystyle{ III: (0,0),(1,0),(1,1), }\)
\(\displaystyle{ IV:(0,2),(1,1),(1, \sqrt{2}+1), }\)
\(\displaystyle{ V:(1,0),(2,0),(1,1), }\)
\(\displaystyle{ VI: (1,1), (1, \sqrt{2}+1), (3,3).}\)
Obliczamy za pomocą całki podwójnej pola tych obszarów.
Dodano po 1 godzinie 7 minutach 35 sekundach:
Obszar I możemy pominąć, bo jest on zawarty pomiędzy tą samą krzywą i osią \(\displaystyle{ Oy. }\)
Proste \(\displaystyle{ x = 0 }\) - (Oś \(\displaystyle{ y }\)) i prosta \(\displaystyle{ x = 1 }\) podzieliły obszar zawarty między krzywymi na sześć rozłącznych obszarów pomiędzy punktami ich przecięcia się:
\(\displaystyle{ I : (-1,1),(0,0),(0,2),}\)
\(\displaystyle{ II: (0,0),(1,1),(0,2), }\)
\(\displaystyle{ III: (0,0),(1,0),(1,1), }\)
\(\displaystyle{ IV:(0,2),(1,1),(1, \sqrt{2}+1), }\)
\(\displaystyle{ V:(1,0),(2,0),(1,1), }\)
\(\displaystyle{ VI: (1,1), (1, \sqrt{2}+1), (3,3).}\)
Obliczamy za pomocą całki podwójnej pola tych obszarów.
Dodano po 1 godzinie 7 minutach 35 sekundach:
Obszar I możemy pominąć, bo jest on zawarty pomiędzy tą samą krzywą i osią \(\displaystyle{ Oy. }\)
-
Klaudiuska88
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 6 sty 2023, o 21:00
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 13 razy
Re: Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D
Chyba nie uczyli nas takiego rozumienia które podałeś.. ale dziękuje za pomoc.
Bo co to za obszar: (0,0), (1,1) (0,2) ? x,y,z ? nie rozumiem co to za płaszczyzna jest wg ?
Od nas wymagane jest w tym zadaniu, jak się domyślam wyznaczenie obszaru ograniczonego x" i y" funkcjami i prostymi.
Do takiego zapisu jestem przystwyczajona raczej.
Dodano po 2 minutach 19 sekundach:
Bo co to za obszar: (0,0), (1,1) (0,2) ? x,y,z ? nie rozumiem co to za płaszczyzna jest wg ?
Od nas wymagane jest w tym zadaniu, jak się domyślam wyznaczenie obszaru ograniczonego x" i y" funkcjami i prostymi.
Do takiego zapisu jestem przystwyczajona raczej.
Dodano po 2 minutach 19 sekundach:
Chyba dobrze zrozumiałeś mnie i mojego wykładowcę. Też tak myśle, tylko nie wiem jak ograniczyć ten obszar x i y ?a4karo pisze: ↑28 sty 2023, o 20:29 A spróbuj zamienic `x` z `y` we wszystkich równaniach. to zamienia oś `X` z osią `y`. Zobaczysz równania do których jestes pewnie bardziej przyzwyczajona.
inna sprawa, że zadanie nie precyzuje o który obszar chodzi. Obstawiałbym ten mający trójkąt na prawo od osi OY i kawałek paraboli po lewej.
-
Klaudiuska88
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 6 sty 2023, o 21:00
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 13 razy
Re: Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D
Nie wychodzi mi niestety to co mówisz.
Podzieliłam obszar na D1 i D2 , z powodu dwóch różnych funkcji "sufit"
D1:
\(\displaystyle{ 0 \le x \le 1}\)
\(\displaystyle{ -x+2 \le y \le \frac{x}{y-2} }\)
D2:
\(\displaystyle{ 1 \le x \le 3}\)
\(\displaystyle{ x \le y \le \frac{x}{y-2} }\)
Już obliczona całka po obszarze D1: daje wynik z y i co z tym zrobić ..
-
Klaudiuska88
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 6 sty 2023, o 21:00
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 13 razy
Re: Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D
A mógłbyś mi wytłumaczyć albo ktokolwiek jak się znajduje/ określa obszar normalny ?
Bo ta ten problem nie pozwala mi rozwiązywać chyba takich całek.
Na tym przykładzie np.
Czyli jeśli obszar normalny ma przedziały jako liczby, a inny funkcje ?
Bo ta ten problem nie pozwala mi rozwiązywać chyba takich całek.
Na tym przykładzie np.
Czyli jeśli obszar normalny ma przedziały jako liczby, a inny funkcje ?
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 21194
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 3582 razy
Re: Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D
Sorry, bzdury gadam. Ten obszar jest oczywiście normalny.
OK. Przypuśćmy że mamy obliczyć pole obszaru, o którym pisałem (kawałek paraboli + trójkąt o wierzchołkach `(0,0), (0,2), (1,1)`
Mysisz sobie odpowiedzieć na kilka pytań:
1) jakie wartośći `x` opisują ten obszar? (ograniczenie z lewej i prawej, czyli `A\le x\le B`)
2) przy każdym ustalonym `x` jak wyglądają wartości `y` ograniczające do z dołu i z góry (te ygreki będą oczywiście zależne od `x`_
`y_1(x)\le y\le y_2(x)`
Uwaga: funkcje `y_1` i `y_2` mogą wyrażać się innymi wzorami w zależności od wartości `x`
Jak już to zrobisz, to wtedy liczysz całkę `\int_A^B \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} dy dx`
Dobrze zaczęłąs rachunki, ale nie możesz miec czegoś takiego jak \(\displaystyle{ y\le \frac{x}{y-2}}\). Musisz wyliczyć `y` w zależności od `x`
Niestety nie wiem czym są u Ciebie obszary `D_1` i `D_2`
OK. Przypuśćmy że mamy obliczyć pole obszaru, o którym pisałem (kawałek paraboli + trójkąt o wierzchołkach `(0,0), (0,2), (1,1)`
Mysisz sobie odpowiedzieć na kilka pytań:
1) jakie wartośći `x` opisują ten obszar? (ograniczenie z lewej i prawej, czyli `A\le x\le B`)
2) przy każdym ustalonym `x` jak wyglądają wartości `y` ograniczające do z dołu i z góry (te ygreki będą oczywiście zależne od `x`_
`y_1(x)\le y\le y_2(x)`
Uwaga: funkcje `y_1` i `y_2` mogą wyrażać się innymi wzorami w zależności od wartości `x`
Jak już to zrobisz, to wtedy liczysz całkę `\int_A^B \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} dy dx`
Dobrze zaczęłąs rachunki, ale nie możesz miec czegoś takiego jak \(\displaystyle{ y\le \frac{x}{y-2}}\). Musisz wyliczyć `y` w zależności od `x`
Niestety nie wiem czym są u Ciebie obszary `D_1` i `D_2`
-
Klaudiuska88
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 6 sty 2023, o 21:00
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 13 razy
Re: Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D
Okej, więc chyba zrozumiałam.
Daje nowy przykład żebyś ocenił czy dobrze.
1)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=x-5 \\ y^2=2x-2 \end{cases} }\)
Wykres obszaru w załączniku 1).
\(\displaystyle{ -2 \le y \le 4}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}y^2+1 \le x \le y+5}\)
\(\displaystyle{ \int_{4}^{-2} [ \int_{ \frac{1}{2}y^2+1 }^{y+5} 1dx]dy = 28 }\)
2)
Ale wracając do drugiego przykładu, jeśli byłby to trójkąt powiedzmy o wierzchołkach - (0,2) (1,1) (3,3) 2)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=0 \\ y+x=2 \\ x=y^2-2y \end{cases} }\)
To wtedy byłoby tak, że na dwa obszary musiałabym rozpisać, o to mi chodzi z tymi D1 i D2
D1:
\(\displaystyle{ 0 \le x \le 1}\)
\(\displaystyle{ -x+2 \le y \le \frac{x}{y-2} }\)
D2:
\(\displaystyle{ 1 \le x \le 3}\)
\(\displaystyle{ x \le y \le \frac{x}{y-2} }\)
Daje nowy przykład żebyś ocenił czy dobrze.
1)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=x-5 \\ y^2=2x-2 \end{cases} }\)
Wykres obszaru w załączniku 1).
\(\displaystyle{ -2 \le y \le 4}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}y^2+1 \le x \le y+5}\)
\(\displaystyle{ \int_{4}^{-2} [ \int_{ \frac{1}{2}y^2+1 }^{y+5} 1dx]dy = 28 }\)
2)
Ale wracając do drugiego przykładu, jeśli byłby to trójkąt powiedzmy o wierzchołkach - (0,2) (1,1) (3,3) 2)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=0 \\ y+x=2 \\ x=y^2-2y \end{cases} }\)
To wtedy byłoby tak, że na dwa obszary musiałabym rozpisać, o to mi chodzi z tymi D1 i D2
D1:
\(\displaystyle{ 0 \le x \le 1}\)
\(\displaystyle{ -x+2 \le y \le \frac{x}{y-2} }\)
D2:
\(\displaystyle{ 1 \le x \le 3}\)
\(\displaystyle{ x \le y \le \frac{x}{y-2} }\)
- Załączniki
-
- przykład 2 ) z trójkątem
-
- przykład 1)
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 21194
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 3582 razy
Re: Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D
Pierwszy przykłąd OK.
Drugi nie. Z rowności `y(y-2)=x` musisz wyłuskać `y`, czyli rozwiązać równanie kwadratowe
Drugi nie. Z rowności `y(y-2)=x` musisz wyłuskać `y`, czyli rozwiązać równanie kwadratowe
-
Klaudiuska88
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 6 sty 2023, o 21:00
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 13 razy
Re: Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D
Teraz to już cie nie rozumiem.
Przecież obszar y musze zapisać z użyciem funkcji i uzależniłam ją od y".
Po co mi te m.zerowe.
\(\displaystyle{ y _{1} =0}\)
\(\displaystyle{ y _{2}= 2}\)
możesz ograniczyć D1 żebym mogła zobaczyć o co ci chodzi.
Przecież obszar y musze zapisać z użyciem funkcji i uzależniłam ją od y".
Po co mi te m.zerowe.
\(\displaystyle{ y _{1} =0}\)
\(\displaystyle{ y _{2}= 2}\)
możesz ograniczyć D1 żebym mogła zobaczyć o co ci chodzi.
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 21194
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 3582 razy
Re: Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D
Napisałem Ci, że nie wiem czym jest u Ciebie D1. Nie rozumiem o jakich miejscach zerowych piszesz. Nic takiego się nie pojawiło
Nierówność \(\displaystyle{ y<\frac{x}{y-2}}\) nie jest tym, o co chodzi. Masz wyrazić `y` przy pomocy `x`, a nie przy pomocy `x` i `y`
Dodano po 4 minutach 48 sekundach:
OK. Zgaduję czym sa te obszary: podzieliłąś górny trójkąt krzywoliniowy prostą `x=1` na dwa obszary. I to jest ok. Musisz tylko poprawnie opisać górny brzeg tych obszarów, czyli wyliczyć `y` z równania `y(y-2)=x`. I prawa strona nie może zależeć od `y`
Dodano po 8 minutach 11 sekundach:
Całka wychodzi nieciekawa, prawda?
Dlatego lepiej to zrobić tak, jak zrobiłaś ten drugi obrazek.
\(\displaystyle{ P=\int_1^2 \left(\int_{?}^{?} dx\right)dy + \int_2^3 \left(\int_{?}^{?} dx\right)dy}\)
Nierówność \(\displaystyle{ y<\frac{x}{y-2}}\) nie jest tym, o co chodzi. Masz wyrazić `y` przy pomocy `x`, a nie przy pomocy `x` i `y`
Dodano po 4 minutach 48 sekundach:
OK. Zgaduję czym sa te obszary: podzieliłąś górny trójkąt krzywoliniowy prostą `x=1` na dwa obszary. I to jest ok. Musisz tylko poprawnie opisać górny brzeg tych obszarów, czyli wyliczyć `y` z równania `y(y-2)=x`. I prawa strona nie może zależeć od `y`
Dodano po 8 minutach 11 sekundach:
Całka wychodzi nieciekawa, prawda?
Dlatego lepiej to zrobić tak, jak zrobiłaś ten drugi obrazek.
\(\displaystyle{ P=\int_1^2 \left(\int_{?}^{?} dx\right)dy + \int_2^3 \left(\int_{?}^{?} dx\right)dy}\)
-
Klaudiuska88
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 6 sty 2023, o 21:00
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 13 razy
Re: Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D
Teraz to cie już nie rozumiem...
Napisałeś na zewnatrz granice całkowania y --> kiedy funkcja nie przechodzi przez 2 w obszarze tego trójkąta, wiec to jest nie mozliwe.
Napisz te granice to moze ogarne, wędka już była, i łowiłam.
Napisałeś na zewnatrz granice całkowania y --> kiedy funkcja nie przechodzi przez 2 w obszarze tego trójkąta, wiec to jest nie mozliwe.
Napisz te granice to moze ogarne, wędka już była, i łowiłam.
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 21194
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 3582 razy
Re: Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru D
I to jest prawie ok, tylko musisz wyrazić `y` w obu drugich nierównościach tak, żeby to `y` nie zależało od `x` i `y` lecz tylko od `x`. Innymi słowy, musisz obliczyć `y` z równania `y(y-2)=x`Klaudiuska88 pisze: ↑1 lut 2023, o 13:07Ale wracając do drugiego przykładu, jeśli byłby to trójkąt powiedzmy o wierzchołkach - (0,2) (1,1) (3,3) 2)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=0 \\ y+x=2 \\ x=y^2-2y \end{cases} }\)
To wtedy byłoby tak, że na dwa obszary musiałabym rozpisać, o to mi chodzi z tymi D1 i D2
D1:
\(\displaystyle{ 0 \le x \le 1}\)
\(\displaystyle{ -x+2 \le y \le \frac{x}{y-2} }\)
D2:
\(\displaystyle{ 1 \le x \le 3}\)
\(\displaystyle{ x \le y \le \frac{x}{y-2} }\)