Matematyka.pl

Witam serdecznie wszystkich. Totalnie nie wiem jak sie do tego zabrać a na cwiczeniach bedzie to za pare dni, lecz ja to potrzebuje na dniach wiec jak ktos by to rozgryzl to będe bardzo wdzięczny


a) Wyprowadzić wzór rekurencyjny dla całki :

\(\displaystyle{ \int\limits_0^1 (1-x^2)^n dx}\)


b) zbadać zbieżność całki :

\(\displaystyle{ \int\limits_0^{+\infty} \left( \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \displaystyle\frac{1+ \cos \frac{x}{n} + \cos \frac{2x}{n} + \ldots + \cos \frac{(n-1)x}{n}}{n} \right) dx}\)


Z góry dziekuje za wszystkie jasne i klarowne odpowiedzi. Pozdrawiam !

a) Podstaw \(\displaystyle{ x=sint}\), a potem całkuj przez części.
b) Wystarczy policzyć tę granicę (a to oczywiście pewna suma całkowa).

dzieki za podpowiedz - jezeli chodzi o podpunkt a to juz zaczyna mi switac ale niestety podpunkt b jest dla mnie czarna magia ... dalby rade ktos go zmontowac? Pozdrawiam i dziekuje za ewentualne posty.

Spróbuj napisać sumę przybliżoną dla całki \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} cos(xy) \mbox{d}y}\), dzieląc przedział \(\displaystyle{ [0,1]}\) na n równych części.
A w a) można w sumie od razu całkować przez części po rozbiciu:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}(1-x^2)^{n}\mbox{d}x = \int_{0}^{1} (1-x^{2})^{n-1}\mbox{d}x - \int_{0}^{1} x^{2}(1-x^{2})^{n-1} \mbox{d}x}\)

Panowie temat jest zdublowany

159607.htm

Wiem że temat jest zdublowany i nie powinienem pisać ale
przypomnij mi Wasilewski jak obliczyć tę sumę cosinusów

Oczywiście liczenie sumy cosinusów nie jest tu konieczne, ale liczy się ją korzystając z tożsamości:
\(\displaystyle{ cos(\frac{k}{n}x) = \frac{sin(\frac{x}{2n})\cdot cos(\frac{kx}{n})}{sin(\frac{x}{2n})} = \frac{sin(\frac{(k+\frac{1}{2})x}{n}) - sin(\frac{(k-\frac{1}{2})x}{n})}{sin(\frac{x}{2n})}.}\)
I widać, że przy sumowaniu dużo rzeczy się skróci.

Wasilewski, w a) można od razu przez części a podstawienie jest zbędne


\(\displaystyle{ \int{ \left(1-x^2 \right) ^n \mbox{d}x }=x \left( 1-x^2\right)^n- \int{x \cdot n \cdot \left(1-x^2 \right) ^{n-1} \cdot \left(-2x \right) \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ \int{ \left(1-x^2 \right) ^n \mbox{d}x }=x \left( 1-x^2\right)^n-2n\int{ \left(-x^2 \right) \left( 1-x^2\right)^n \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ \int{ \left(1-x^2 \right) ^n \mbox{d}x }=x \left( 1-x^2\right)^n-2n \left( \int{ \left( 1-x^2\right) \left( 1-x^2\right) ^{n-1} \mbox{d}x } - \int{ \left( 1-x^2\right)^{n-1} \mbox{d}x } \right)}\)

\(\displaystyle{ \left( 2n+1\right) \int{ \left(1-x^2\right) ^n \mbox{d}x }=x \left( 1-x^2\right)^n+2n\int{ \left(1-x^2\right) ^{n-1} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ \int{ \left(1-x^2\right) ^n \mbox{d}x }= \frac{1}{2n+1} \left(x \left( 1-x^2\right)^n+2n\int{ \left(1-x^2\right) ^{n-1} \mbox{d}x } \right)}\)

Całka oznaczona będzie wyglądać tak

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}{ \left( 1-x^2\right) ^n \mbox{d}x }= \frac{2n}{2n+1} \int_{0}^{1}{ \left( 1-x^2\right) ^{n-1} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ sin _{\alpha}*cos _{\beta}= \frac{1}{2}[sin ({\alpha+\beta})+sin ({\alpha-\beta})]}\)

I wzór Wasilewskiego jest błędny...
Chyba że się mylę...

smokpysio66 pisze:\(\displaystyle{ sin _{\alpha}*cos _{\beta}= \frac{1}{2}[sin ({\alpha+\beta})+sin ({\alpha-\beta})]}\)

I wzór Wasilewskiego jest błędny...
Chyba że się mylę...

Ja myślę że Wasilewski chciał skorzystać z

\(\displaystyle{ \sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin{ \frac{\alpha+\beta}{2} }\cos{ \frac{\alpha-\beta}{2} }}\)

Mógłby ktoś dokończyć to drugie zadanie bo ludzie zaśmiecają forum

Wasilewski napisałeś że nie trzeba obliczać tej sumy więc co proponujesz w zamian

Owszem, i nawet mi się udało. smokpysio66, napisałeś dobry wzór, ale wyciągnąłeś zły wniosek.

Ze wzoru \(\displaystyle{ sin _{\alpha}*cos _{\beta}= \frac{1}{2}[sin ({\alpha+\beta})+sin ({\alpha-\beta})]}\) doszłem do granicy

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to +\infty} \frac{1+ \frac{1}{2sin \frac{x}{2n} }(-sin \frac{x}{2n} +sin \frac{(n- \frac{1}{2})x }{n})}{n}}\)

co dalej...?

Wasilewski napisał,że się skróci.Skróciło się,ale w granicy wyszła nieoznaczoność..

Widzę, że gdzieś się zapodziała u mnie dwójka. W każdym razie po zsumowaniu wychodzi do policzenia granica:
\(\displaystyle{ lim_{n\to \infty} \frac{sin(\frac{(n-\frac{1}{2})x}{n}) + sin(\frac{x}{2n})}{n sin(\frac{x}{2n})}=\frac{sinx}{x},}\)
ponieważ sinus jest ciągły oraz \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{sinx}{x}=1}\).
mariuszm, napisałem przecież, żeby tę sumę interpretować jako sumę całkową.

Ja też uzyskałem taki wynik

Całka nieoznaczona to sinus całkowy
Wasilewski, moje pytanie brzmi jak obliczyć wartość

Czy obliczając wartość sinusa całkowego można skorzystać z całki podwójnej tak jak to się robiło z
całką

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } {e^{-x^{2}} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ \cos(\frac{k}{n}x) = \frac{\sin(\frac{x}{2n})\cdot \cos(\frac{kx}{n})}{\sin(\frac{x}{2n})} = \frac{\sin(\frac{(k+\frac{1}{2})x}{n}) - \sin(\frac{(k-\frac{1}{2})x}{n})}{2\sin(\frac{x}{2n})}.}\)



\(\displaystyle{ \lim_{ x\to +\infty} \frac{\sin \frac{3x}{2n} -\sin \frac{1x}{2n}+\sin \frac{5x}{2n}+\sin \frac{7x}{2n}-\sin \frac{5x}{2n}+...+\sin \frac{(n- \frac{5}{2})x}{n} -\sin \frac{(n- \frac{7}{2})x}{n}+\sin \frac{(n- \frac{3}{2})x}{n}-\sin \frac{(n- \frac{5}{2})x}{n}+\sin \frac{(n- \frac{1}{2})x}{n}-\sin \frac{(n- \frac{3}{2})x}{n}}{n}}\)


Granice podał Wasilewski.

Po przekształceniach wychodzi całka

\(\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin _{x} }{x} = \frac{\pi}{2}}\)

Odpowiedź jest w Wikipedii,jakby ktoś pytał...

mariuszm pisze:Wasilewski, w a) można od razu przez części a podstawienie jest zbędne


\(\displaystyle{ \int{ \left(1-x^2 \right) ^n \mbox{d}x }=x \left( 1-x^2\right)^n- \int{x \cdot n \cdot \left(1-x^2 \right) ^{n-1} \cdot \left(-2x \right) \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ \int{ \left(1-x^2 \right) ^n \mbox{d}x }=x \left( 1-x^2\right)^n-2n\int{ \left(-x^2 \right) \left( 1-x^2\right)^n \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ \int{ \left(1-x^2 \right) ^n \mbox{d}x }=x \left( 1-x^2\right)^n-2n \left( \int{ \left( 1-x^2\right) \left( 1-x^2\right) ^{n-1} \mbox{d}x } - \int{ \left( 1-x^2\right)^{n-1} \mbox{d}x } \right)}\)

\(\displaystyle{ \left( 2n+1\right) \int{ \left(1-x^2\right) ^n \mbox{d}x }=x \left( 1-x^2\right)^n+2n\int{ \left(1-x^2\right) ^{n-1} \mbox{d}x }}\)

Hej mamy pytanie co do przejscia z drugiej linijki do trzeciej, co tam sie stalo??
i jakby ktos mogl wytlumaczyc po kolei jak zbadac ta bieznosc, bylabym wdzieczna