Matematyka.pl

∫ [(tgx)/x] dx
Czy ta calka jest calkowalna, jesli nie to udowodnij że nie da się jej scalkowac.
Przedstaw pisemny dowod ze istnieje funkcja ktora nie da sie scalkowa, ktora nie da sie przedstawic w postaci f. elementarnych.

Blagam o pomoc!!!

Jest pewien sposób wykazywania, że funkcja jest całkowalna. Należy wykazać że granica różnicy górnej i Dolnej sumy Darboux przy lambda dążącym do zera jest równa zero. \(\displaystyle{ \lim_{\lambda\to 0}(S-s)=0}\) Można to sobie wyobrazić nawet. Przy skończonym lambda(oznacza to największy podział dziedziny, czyli iksów) \(\displaystyle{ \Delta x f(x_m)}\)

z tym ze ona calkowalna jest. ktos tu chyba paru pojec nie rozroznia. "niecalkowalna funkcja" a "funkcja, ktorej calka nie wyraza sie przez skonczona sume funkcji elementarlnych" to troche rozne rzeczy.
dowod tego faktu jest raczej dosc trudny, nawet na studiach matematycznych sie go ponoc nie pokazuje. chyba, ze ma polegac na pocalkowaniu chwile przez czesci, sprowadzeniu do jakiegos wyrazenia z sinusem i cosinusem calkowym i stwierdzeniu ze skoro ich sie nie da przedstawic w zadany sposob, to i tej funkcji tez sie nie da.

a i wykopalisk nie ma sensu robic.

To w takim razie w jaki sposób przedstawić tą całkę A może dziedzinę na trzy przedziały rozbić i wtedy coś kombinować ? Przyznam: jeśliby tę funkcję ocenć biarąc pod uwagę to co napisałem, jest całkowalna...

no bo jest. ciagla poza ciagiem, zaden problem. tylko, ze trzeba przedstawic to jako nieskonczony szereg.

Ja tego zrobić już nie potrafię - może za trzy miesiące Chętnie zobaczę tę całkę.
doszedłem to tego: \(\displaystyle{ sinx {1 \over x} arcsinsinx - t arcsinsinx\frac{sin^2x}{2}{1 \over x} - t arcsinsinx sinx - \frac{1}{x^2}}\)

Mbach pisze:Jest pewien sposób wykazywania, że funkcja jest niecałkowalna. Należy wykazać że granica różnicy górnej i Dolnej sumy Darboux przy lambda dążącym do zera jest równa zero.

Nie chciałeś powiedzieć, że CAŁKOWALNA?
I co to jest lambda w tym przypadku tak w ogóle?
Zauważ też, że tak w ogóle to całka dolna i górna muszą być równe, żeby funkcja była całkowalna w sensie Riemanna.

\(\displaystyle{ \lambda = sup{\Delta x}}\) jeśli można tak napisać Czyli lambda to największy z podziałów. A to "niecałkowalna" już poprawiłem

To ja jeszcze tylko dodam, ze w praktyce wygodniej sie chyba (przynajmniej tak mi sie wydaje;]) posluguje gotowymi kryteriami w rodzaju: f(x) - ciagla poza pewnym zbiorem przeliczalnym => f(x) - calkowalna, czy tez inne które wymieniłeś;)
Ja bym dodał jedno kryterium:
Liczbę \(\displaystyle{ V_a^b (f) = \sup_{a=x_0}\)