Matematyka.pl

Mam obliczyć następującą całkę:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{\ln x}{1+ x^{2}}\:\mbox{d}x}\)

To akurat zrobiłem:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{\ln x}{1+ x^{2}}\:\mbox{d}x = \int_{0}^{ 1 } \frac{\ln x}{1+ x^{2}}\:\mbox{d}x +\int_{1}^{ \infty } \frac{\ln x}{1+ x^{2}}\:\mbox{d}x}\)
kładąc w pierwszej całce: \(\displaystyle{ t = \frac{1}{x},\ dt = \frac{dx }{- x^2 }}\) dostaję:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{\ln x}{1+ x^{2}}\;\mbox{d}x = \int_{\infty}^{1 } \frac{\ln \left( \frac{1}{t} \right) \cdot \left( - x^{2}\right) }{1+ \left( \frac{1}{t} \right) ^2 }\;\mbox{d}t = \int_{\infty}^{1 } \frac{-\ln \left( t \right) \cdot \left( - \frac{1}{t^{2}} \right) }{ \frac{t^{2}+1}{t^{2}} }\;\mbox{d}t = \int_{ \infty }^{1} \frac{\ln \left( t\right) }{t^{2}+1}\;\mbox{d}t=
-\int_{1 }^{ \infty } \frac{\ln \left( t\right) }{t^{2}+1}\;\mbox{d}t \Rightarrow \int_{0 }^{ 1 } \frac{\ln \left( x\right) }{x^{2}+1}\:\mbox{d}x = - \int_{1 }^{ \infty } \frac{\ln \left( x\right) }{x^{2}+1}\:\mbox{d}x}\)

Zatem: \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{\ln x}{1+ x^{2}}\:\mbox{d}x = 0}\) .

Jest jednak pierwsza część zadania, z którą nie potrafię sobie poradzić: w jaki sposób (zanim zacznę obliczać tę całkę) pokazać, że ona istnieje?

Zacząłem iść w tym kierunku:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{\ln x}{1+ x^{2}}\:\mbox{d}x = \lim_{A \to 0 } \int_{A}^{1} + \int_{1}^{10} + \lim_{ M \to \infty } \int_{10}^{M}}\) Druga całka istnieje, a co z całkami pierwszą i trzecią?

Ja bym to zrobił tak: \(\displaystyle{ \ln x=\ln\left( \sqrt{x}\right)^2=2\ln \sqrt{x}<2\sqrt{x}}\) ,
co wynika ze znanej nierówności \(\displaystyle{ \ln t<t}\) dla \(\displaystyle{ t>0}\) .
Zatem dla \(\displaystyle{ x\ge 1}\) możemy oszacować:
\(\displaystyle{ 0\le \frac{\ln x}{1+x^2}\le \frac{2\sqrt{x}}{1+x^2}\le 2x^{-\frac 3 2}}\)
a oczywiście całka:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{+\infty} 2x^{-\frac 3 2}\,\dd x}\)
jest zbieżna. Zatem \(\displaystyle{ \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln x}{1+x^2} \,\dd x}\) jest zbieżna na mocy kryterium porównawczego.
Natomiast
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1+x^2} \,\dd x=- \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2} \frac{\ln\left( \frac 1 x\right) }{1+\left( \frac 1 x\right)^2 } \,\dd x}\)
i podstawienie \(\displaystyle{ t=\frac 1 x}\) prowadzi do wniosku, że ta ostatnia całka jest równa:
\(\displaystyle{ - \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln t}{1+t^2} \,\dd t}\), a to coś nam przypomina…

-- 20 gru 2017, o 12:53 --

Nawiasem mówiąc, żeby wywnioskować, że całka jest równa zero tym sposobem, najpierw musisz udowodnić, że w ogóle jest ona zbieżna. Np.
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{_\infty} \sin x \,\dd x}\) jest rozbieżna.

No właśnie i o to wykazanie istnienia całki mi się rozchodzi.

I mógłbym korzystać z kryterium porównawczego (co byłoby najprostszym rozwiązaniem), ale na zajęciach jeszcze tego nie mieliśmy, więc jak k.p. wykazać istnienie całek:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1+ x^{2}}dx}\)
\(\displaystyle{ \int_{10}^{ \infty } \frac{\ln x}{1+ x^{2}}dx}\)

i ja tu chciałem skorzystać z \(\displaystyle{ \ln x < \sqrt{x}}\) tylko jeszcze nie wiem w jaki sposób.

I mógłbym korzystać z kryterium porównawczego (co byłoby najprostszym rozwiązaniem), ale na zajęciach jeszcze tego nie mieliśmy

Niemożliwe. Przecież wtedy w wielu przypadkach pozostaje tylko bezpośrednie liczenie.

Napisałem, jak tu wykorzystać kryterium porównawcze w celu udowodnienia zbieżności:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln x}{1+x^2} \,\dd x}\) ,
zaś podstawienie, które sam zauważyłeś prowadzi do wniosku, że całka:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1+ x^{2}}dx}\)
jest zbieżna dokładnie wtedy, gdy zbieżna jest:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln x}{1+x^2} \,\dd x}\) .

Dobrze, z tym co powyżej napisane to się zgadzam.
Jednak jeszcze raz przytoczę polecenie (bo być może nie wyraziłem się precyzyjnie):

Najpierw mam pokazać, że całka \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{\ln x}{1+x^{2}}dx}\) istnieje (czyli jest zbieżna), a dopiero później dokonać podstawienia \(\displaystyle{ t=1/x}\) .

Więc z tą częścią pokazania (przez kryterium porównawcze) , że całka \(\displaystyle{ \int_{1}^{ \infty } \frac{\ln x}{1+x^{2}}}\)
jest zbieżna to wszystko "gra".
Natomiast, jak pokazać zbieżność całki (bez podstawienia x=1/t) \(\displaystyle{ \int_{0}^{ 1 } \frac{\ln x}{1+x^{2}}}\) ???

No dobra, można i tak.
Dla \(\displaystyle{ x \in (0,1]}\) mamy:
\(\displaystyle{ \ln x \le \frac{\ln x}{1+x^2} \le 0}\) ,
zatem skoro:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \ln x \,\dd x=\left(x\ln x-x\right)\bigg|^1_0=-1}\)
jest zbieżna, to z kryterium porównawczego wynika, że także:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1+x^2}\,\dd x}\)
jest zbieżna.

-- 21 gru 2017, o 15:13 --

Oczywiście po drodze przydaje się granica:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+ }x\ln x=0}\) (można zapisać \(\displaystyle{ x=\frac{1}{\frac 1 x}}\) i policzyć ją z de l'Hospitala, albo sprowadzić do \(\displaystyle{ \lim_{t \to +\infty} \frac{-\ln t}{t}}\) i wtedy z de l'Hospitala uderzać, bądź z jakichś szacowań), ale na etapie całek nie powinien to być problem.

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}\frac{\ln (x)}{1+x^2}dx}\)

Podstawienia:

\(\displaystyle{ \arctan (x):= t, \ \ \frac{1}{1+x^2}dx = dt, \ \ x = \tg (t)}\)

\(\displaystyle{ \begin{array}{|c|c|c|} \hline
x & 0 & \infty \\ \hline
t & 0 & \pi/2 \\ \hline
\end{array}}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}\frac{\ln (x)}{1+x^2}dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln (\tg (t))dt}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\xi} f(t) dt = \int_{0}^{\xi} f(\xi - t)dt}\)

\(\displaystyle{ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln (\tg (t))dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln \left(\tg \left(\frac{\pi}{2}- t)\right)\right)dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln (\ctg (t))dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \left(\frac{1}{\tg (t)}\right)dt =-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln (\tg (t) dt = - I}\)

\(\displaystyle{ 2I = 0, \ \ I = 0}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\tg (t))dt = 0}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} \frac{\ln (x)}{1+x^2}dx =0}\)

Panie Kraszewski co Pan tu poprawiał o 1.22 jeśli zredagowałem identyczny post?

janusz47, tak naprawdę to i tak najpierw musisz wiedzieć (a najlepiej uzasadnić), że ta całka jest zbieżna, żeby wywnioskować, że \(\displaystyle{ I=0}\) . Bo np. jeśli rozważymy:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} \sin x \,\dd x}\) (rozbieżna), to też można przeprowadzić podobne (no, niezupełnie identyczne) rozumowanie, ale z tego nie wynika, że:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} \sin x \,\dd x=0}\) (ta całka jest rozbieżna, natomiast jej wartość główna wynosi zero).

Nie należy wplątywać zbieżności całki z zupełnej innej funkcji podcałkowej, żeby wykazać metodą podstawienia i znanej tożsamości całkowej, że wartość danej całki niewłaściwej jest równa zeru.

To zdanie nie jest po polsku, ale dziękuję za starania.

Smutne i żałosne to, ale prawdziwe.

janusz47 pisze:\(\displaystyle{ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln (\tg (t))dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln \left(\tg \left(\frac{\pi}{2}- t)\right)\right)dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln (\ctg (t))dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \left(\frac{1}{\tg (t)}\right)dt =-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln (\tg (t) dt = - I}\)

\(\displaystyle{ 2I = 0, \ \ I = 0}\)

Ten argument nie przejdzie, o ile wcześniej nie wiesz, że \(\displaystyle{ I}\) jest liczbą. I to właśnie w przystępny sposób i na prostszym przykładzie chciał Ci przekazać Premislav.

A czym jest? Jeśli metodą podstawienia przechodzę z granicy niewłaściwej na właściwą i jej wartość jest równa zero.

No to Ci Premislav podał przykład, że całka nie istnieje, a liczona Twoją "metodą" wychodzi zero.
Zamiast upierać się przy swoim niesłusznym stanowisku poczytaj trochę książek.
Inaczej to Ty wychodzisz na smutnego i żałosnego (to Twoje słowa).

Panie a4karo to Pan niech poczyta sobie jak oblicza się całki niewłaściwe, sprowadzając je do obliczania całek właściwych.