Matematyka.pl

W kompendium
kompendium-analizy-f45/calkowanie-funkc ... l#p5645359
postawiłem pewną hipotezę
Moja hipoteza jest taka że zdefiniowana tam funkcja \(\displaystyle{ H\left( x\right) }\) zawsze będzie wielomianem
Jak wykazać jej prawdziwość bądź ją obalić

W kompendium napisałeś tak:

mariuszm pisze: ↑20 cze 2022, o 16:29


Niech \(\displaystyle{ H\left( x\right) = \frac{Q_{2}\left( x\right)Q_{1}'\left( x\right) }{Q_{1}\left( x\right) } }\)

Można pokazać że \(\displaystyle{ H\left( x\right) }\) zawsze będzie wielomianem

To nie wygląda jak hipoteza, lecz jak stwierdzenie faktu, którego dowód znasz, ale nie podajesz.

Może rzeczywiście tak to brzmi ale może przekształćmy to zdanie tak aby rzeczywiście wyglądało ono na hipotezę
i wtedy zastanówmy się jak wykazać jej prawdziwość
Przyjmijmy że podejrzewam prawdziwość tej hipotezy jednak chciałbym zobaczyć dowód

To dobry zwyczaj, żeby nie ufać sobie z przeszłości, ale tu moim zdaniem nie ma powodów do niepokoju.

W całość tekstu nie wnikam, ale rozumiem, że jest tam dany dowolny wielomian \(Q(x)\) (dla uproszczenia powiedzmy, że ma współczynnik wiodący \(1\)), który w liczbach zespolonych można rozłożyć na czynniki liniowe:
\(Q(x)=(x-x_1)^{k_1}(x-x_2)^{k_2}\cdots(x-x_l)^{k_l}\)
gdzie \(x_1, x_2,\ldots, x_l\) są różnymi pierwiastkami zespolonymi, a \(k_1, k_2, \ldots, k_l\) są liczbami naturalnymi dodatnimi. Definiujemy dwa wielomiany:
\(Q_1(x)=(x-x_1)^{k_1-1}(x-x_2)^{k_2-1}\cdots(x-x_l)^{k_l-1}\)
\(Q_2(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_l)\)

Teraz dla każdego czynnika \((x-x_m)^{k_m-1}\) wielomianu \(Q_1(x)\), jeśli \(k_m-1>0\), to w wielomianie \(Q_2(x)\) znajdziemy czynnik krotności jeden: \((x-x_m)\), a w pochodnej \(Q_1'(x)\) znajdziemy czynnik o krotności zmniejszonej o jeden: \((x-x_m)^{k_m-2}\).

mariuszm

Jeśli chciałby Pan poznać dokładny dowód metody całkowania Michaiła Ostrogradskiego, to znajduje się w pierwszym tomie kursu matematicieskowo analiza Kudriawcewa dla studentów w specjalnościach matematyka i fizyka.

Dzięki janusz jeśli uda mi się znaleźć tę książkę to poczytam
A mógłbyś napisać dokładny tytuł cyrylicą ?

Chciałem zminimalizować ilość potrzebnych obliczeń
w metodzie Ostrogradskiego

@3a174ad9764fefcb

Powyższą hipotezę sformułowałem po obliczeniu kilku całek i po zróżniczkowaniu tej równości na literkach
a nabrałem podejrzeń że ta hipoteza jest prawdziwa po przeprowadzeniu podobnego rozumowania co ty przedstawiłeś w swoim wpisie

Można pokazać że \(\displaystyle{ H\left(x\right)}\) jest wielomianem
także w nieco inny sposób - wykorzystując to że \(\displaystyle{ Q_{1}\left(x\right)=GCD\left( Q\left( x\right),Q'\left( x\right) \right) }\)
Z \(\displaystyle{ Q_{1}\left(x\right)=GCD\left( Q\left( x\right),Q'\left( x\right) \right) }\)
wynika że \(\displaystyle{ Q_{1}\left( x\right) |Q'\left( x\right) }\)
Ponadto wiemy że \(\displaystyle{ Q\left( x\right)=Q_{1}\left( x\right)Q_{2}\left( x\right) }\)
Teraz różniczkując \(\displaystyle{ Q\left( x\right) }\) i przekształcając otrzymaną równość otrzymujemy inny sposób na obliczenie \(\displaystyle{ H\left( x\right) }\)

Jeżeli mamy wielomian w postaci ogólnej to możemy go dosyć łatwo zróżniczkować a co z postacią iloczynową ?

л.д.кудрявцев курс математическво анализа. том 1. москва высшая школа 1988.

Zdaje się że nie doczytałem tego co napisał Fichtenholz
bo on u siebie też rozpisał tę równość tzn
zróżniczkował stronami równość \(\displaystyle{ \int{ \frac{P\left( x\right) }{Q\left( x\right) } \mbox{d}x}=\frac{P_{1}\left( x\right) }{Q_{1}\left( x\right)}+\int{\frac{P_{2}\left( x\right) }{Q_{2}\left( x\right) }\mbox{d}x} }\)
Przyjął że \(\displaystyle{ H\left( x\right)=\frac{Q_{1}'\left( x\right)Q_{2}\left( x\right) }{Q_{1}\left( x\right) } }\)
i przeprowadzając takie same rozumowanie co @3a174ad9764fefcb
uzasadniał że \(\displaystyle{ H\left( x\right) }\) jest wielomianem
Można też to uzasadnić nieco inaczej ale wspomiałem o tym we wcześniejszym wpisie