warunkowa zbieżność całki
-
klimat
- Użytkownik
- Posty: 117
- Rejestracja: 13 paź 2017, o 08:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tu
- Podziękował: 42 razy
warunkowa zbieżność całki
Wykaż warunkową zbieżność całki \(\displaystyle{ \int_0^\infty\;\frac{\sin\,x}{x}\;dx}\).
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4076
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: warunkowa zbieżność całki
To się robi w 2 krokach. Pokaż, że całka jest zbieżna. A z modułem
rozbieżna. Druga nierówność zachodzi bo na tak dobranym zbiorze \(\displaystyle{ \sin x\ge 1/2}\).
\(\displaystyle{
\begin{split}
\int_{0}^{\infty}\left| \frac{\sin x}{x} \right| \text{d}x & \ge \int_{ \bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left[ \pi n+ \frac{\pi }{6} , \pi n+ \frac{5 \pi }{6}\right]}\left| \frac{\sin x}{x} \right| \text{d}x
\\[1ex]
& \ge \frac{1}{2} \int_{ \bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left[ \pi n+ \frac{\pi }{6} , \pi n+ \frac{5 \pi }{6}\right]} \frac{1}{x}\text{d}x\\[1ex]
&= \frac{1}{2} \sum_{n\in\mathbb{N}} \int_{\pi n+ \frac{\pi }{6}}^{\pi n+ \frac{5\pi }{6}} \frac{1}{x}\text{d}x\\[1ex]
& = \frac{1}{2}\sum_{n\in\mathbb{N}} \ln \left( \frac{\pi n+ \frac{5\pi }{6}}{\pi n+ \frac{\pi }{6}} \right)\\[1ex]
&=\infty
\end{split}
}\)
\begin{split}
\int_{0}^{\infty}\left| \frac{\sin x}{x} \right| \text{d}x & \ge \int_{ \bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left[ \pi n+ \frac{\pi }{6} , \pi n+ \frac{5 \pi }{6}\right]}\left| \frac{\sin x}{x} \right| \text{d}x
\\[1ex]
& \ge \frac{1}{2} \int_{ \bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left[ \pi n+ \frac{\pi }{6} , \pi n+ \frac{5 \pi }{6}\right]} \frac{1}{x}\text{d}x\\[1ex]
&= \frac{1}{2} \sum_{n\in\mathbb{N}} \int_{\pi n+ \frac{\pi }{6}}^{\pi n+ \frac{5\pi }{6}} \frac{1}{x}\text{d}x\\[1ex]
& = \frac{1}{2}\sum_{n\in\mathbb{N}} \ln \left( \frac{\pi n+ \frac{5\pi }{6}}{\pi n+ \frac{\pi }{6}} \right)\\[1ex]
&=\infty
\end{split}
}\)
rozbieżna. Druga nierówność zachodzi bo na tak dobranym zbiorze \(\displaystyle{ \sin x\ge 1/2}\).
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: warunkowa zbieżność całki
Dla części pierwszej pokaż, że szereg $$\sum_{k=0}^{\infty} \int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{\sin x}{x} dx$$ spełnia kryterium Leibniza.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: warunkowa zbieżność całki
Aby wykazać zbieżność całki \(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx }\) wystarczy zastosować kryterium Dirichleta do funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \sin(x) }\) i \(\displaystyle{ g(x) = \frac{1}{x} }\) na przedziale
\(\displaystyle{ [0, \infty).}\)
\(\displaystyle{ [0, \infty).}\)
