Rozwiń funkcję \(\displaystyle{ f(x)}\) w szereg Fouriera, pod warunkiem, że \(\displaystyle{ f(x+4)=f(x)}\) gdzie
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 1 \quad x \in (-2,0)\\4x-4 \quad x \in [0,2)\end{cases}}\)
Czy tylko mi coś tu się nie zgadza?
Szereg Fouriera
-
- Użytkownik
- Posty: 264
- Rejestracja: 1 lut 2015, o 19:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 70 razy
Re: Szereg Fouriera
Aby rozwinąć daną funkcję \(f(x)\) w szereg Fouriera, musisz wyrazić ją jako sumę sinusów i cosinusów. Rozwinięcie szeregu Fouriera dla funkcji okresowej \(f(x)\) z okresem \(T\) wyraża się wzorem:
\[ f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + b_n \sin\left (\frac{2\pi n x}{T}\right) \right) \]
No a dalej znajdujesz współczynniki \(a_0\), \(a_n\) i \(b_n\) dla danej funkcji \(f(x)\):
1. \(a_0\) (wartość średnia):
\[ a_0 = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \,dx \]
W tym przypadku \(T = 4\), czyli
\[ a_0 = \frac{1}{4} \int_{-2}^{2} f(x) \,dx \]
2. \(a_n\) i \(b_n\) (współczynniki dla \(n \geq 1\)):**
\[ a_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \,dx \]
\[ b_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \,dx \]
Ponownie z \(T = 4\).
Tak? Czy to ja na jakiś haczyk dałam się nadziać? Bo co tu się ma nie zgadzać?
\[ f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + b_n \sin\left (\frac{2\pi n x}{T}\right) \right) \]
No a dalej znajdujesz współczynniki \(a_0\), \(a_n\) i \(b_n\) dla danej funkcji \(f(x)\):
1. \(a_0\) (wartość średnia):
\[ a_0 = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \,dx \]
W tym przypadku \(T = 4\), czyli
\[ a_0 = \frac{1}{4} \int_{-2}^{2} f(x) \,dx \]
2. \(a_n\) i \(b_n\) (współczynniki dla \(n \geq 1\)):**
\[ a_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \,dx \]
\[ b_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \,dx \]
Ponownie z \(T = 4\).
Tak? Czy to ja na jakiś haczyk dałam się nadziać? Bo co tu się ma nie zgadzać?
Ostatnio zmieniony 20 sty 2024, o 14:09 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 264
- Rejestracja: 1 lut 2015, o 19:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 70 razy
Re: Szereg Fouriera
Nie zadadzą mi się, że \(\displaystyle{ f(x)=f(x+4)}\), sugerując przedłużenie do funkcji parzystej...
Ostatnio zmieniony 20 sty 2024, o 14:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 22216
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Szereg Fouriera
To nie jest po polsku.
Ale nie da się tej funkcji przedłużyć do parzystej zachowując okresowość.
Ale nie da się tej funkcji przedłużyć do parzystej zachowując okresowość.
Ostatnio zmieniony 21 sty 2024, o 06:31 przez admin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Usunięto cytowany tekst. Nie cytujemy całej treści postu, jeśli odpowiadamy bezpośrednio pod tym postem!
Powód: Usunięto cytowany tekst. Nie cytujemy całej treści postu, jeśli odpowiadamy bezpośrednio pod tym postem!
-
- Użytkownik
- Posty: 264
- Rejestracja: 1 lut 2015, o 19:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 70 razy
Re: Szereg Fouriera
To po co ten warunek? (\(\displaystyle{ f(x+4)=f(x)}\))
Ostatnio zmieniony 20 sty 2024, o 14:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 264
- Rejestracja: 1 lut 2015, o 19:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 70 razy