Matematyka.pl

Rozwiń funkcję \(\displaystyle{ f(x)}\) w szereg Fouriera, pod warunkiem, że \(\displaystyle{ f(x+4)=f(x)}\) gdzie

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 1 \quad x \in (-2,0)\\4x-4 \quad x \in [0,2)\end{cases}}\)

Czy tylko mi coś tu się nie zgadza?

Aby rozwinąć daną funkcję \(f(x)\) w szereg Fouriera, musisz wyrazić ją jako sumę sinusów i cosinusów. Rozwinięcie szeregu Fouriera dla funkcji okresowej \(f(x)\) z okresem \(T\) wyraża się wzorem:

\[ f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + b_n \sin\left (\frac{2\pi n x}{T}\right) \right) \]

No a dalej znajdujesz współczynniki \(a_0\), \(a_n\) i \(b_n\) dla danej funkcji \(f(x)\):
1. \(a_0\) (wartość średnia):
\[ a_0 = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \,dx \]
W tym przypadku \(T = 4\), czyli
\[ a_0 = \frac{1}{4} \int_{-2}^{2} f(x) \,dx \]

2. \(a_n\) i \(b_n\) (współczynniki dla \(n \geq 1\)):**
\[ a_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \,dx \]
\[ b_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \,dx \]

Ponownie z \(T = 4\).
Tak? Czy to ja na jakiś haczyk dałam się nadziać? Bo co tu się ma nie zgadzać?

Nie zadadzą mi się, że \(\displaystyle{ f(x)=f(x+4)}\), sugerując przedłużenie do funkcji parzystej...

To nie jest po polsku.
Ale nie da się tej funkcji przedłużyć do parzystej zachowując okresowość.

To po co ten warunek? (\(\displaystyle{ f(x+4)=f(x)}\))

To jest właśnie wymaganie okresowości

A dobra... wszystko już jasne. Dziękuję