Matematyka.pl

Witam, próbuję właśnie wyliczyć średnią wartość funkcji, jednak już na początku spotkałem się z problemem

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{2x ^{3}+x }{x ^{2} } , x \in \left\langle 0, \frac{ 1 }{4} \right\rangle}\)

na początku chciałem policzyć całkę nieoznaczoną i ... nie wiem jakim sposobem ją rozwiązać, mimo tego, że wygląda na banalną

\(\displaystyle{ \int \frac{2x ^{3}+x }{x ^{2} } \mbox{d}x =}\)

Podziel na 2 ułamki i scałkuj każdy osobno.

\(\displaystyle{ \int \frac{2x ^{3} }{x ^{2} } \mbox{d}x + \int \frac{x}{x ^{2} } \mbox{d}x}\)
na takie dwa ułamki ?

oczywiście

ok, rozbiłem, tylko nadal nie mogę rozwiązać ich ze wzorów, więc trzeba skorzystać z jakiejś metody, tylko jakiej?

Skróć ze sobą potęgi i wykorzystaj podstawowe wzory.

\(\displaystyle{ \int \frac{2x ^{3} }{x ^{2} } \mbox{d}x + \int \frac{x}{x ^{2} } \mbox{d}x=}\)
a więc po skróceniu z pierwszego wyjdzie

\(\displaystyle{ x ^{2}}\)

a z drugiego

\(\displaystyle{ ln\left| x\right|}\) ?

jest ok.

a więc dalej liczę całkę oznaczoną

\(\displaystyle{ \int_{1}^{4} \frac{2x ^{3}+x }{x ^{2} } \mbox{d}x = \left[ x ^{2} + ln\left| x\right|\right]_{1}^{4 }=17,38-1=16,38}\)
za \(\displaystyle{ ln\left| 4\right|}\) przyjąłem\(\displaystyle{ 1,38}\)czy dobrze zrobiłem? tak się powinno robić?

i na koniec nie mam pewności, ale wydaje mi się, że to co wyszło, dzieli się jeszcze na 2 i wychodzi końcowy wynik, który mamy wyliczyć, czyli średnią wartość funkcji

\(\displaystyle{ \frac{16,38}{2} =8,19}\)

Gdziemojekonie pisze:a więc dalej liczę całkę oznaczoną

\(\displaystyle{ \int_{1}^{4} \frac{2x ^{3}+x }{x ^{2} } \mbox{d}x = \left[ x ^{2} + ln\left| x\right|\right]_{1}^{4 }=17,38-1=16,38}\)
za \(\displaystyle{ ln\left| 4\right|}\) przyjąłem\(\displaystyle{ 1,38}\)czy dobrze zrobiłem? tak się powinno robić?

nie widzę większego sensu, zostaw logarytm - nikt się nie przyczepi, chyba, że będzie inaczej w poleceniu napisane.

Gdziemojekonie pisze: i na koniec nie mam pewności, ale wydaje mi się, że to co wyszło, dzieli się jeszcze na 2 i wychodzi końcowy wynik, który mamy wyliczyć, czyli średnią wartość funkcji

\(\displaystyle{ \frac{16,38}{2} =8,19}\)

Nie.

Wartość średnia funkcji w przedziale [a,b] jest równa:

\(\displaystyle{ \frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b}h(x)}\)

zostawiając logarytm, wyjdzie \(\displaystyle{ = 16 + ln\left| 4\right| - 1}\) bo logarytm z \(\displaystyle{ 1}\) juz chyba trzeba wyliczyc, że to\(\displaystyle{ 0}\)

z tego jak rozumiem wzór, \(\displaystyle{ b - a}\) czyli w moim przypadku \(\displaystyle{ 4 - 1 = 3}\) , więc dzielimy przez trzy? ale jak to bedzie wyglądało z tym logarytmem i co wyjdzie

\(\displaystyle{ \frac{15+ln\left| 4\right| }{3}}\) po prostu pomijamy ten logarytm i wynik to \(\displaystyle{ =5+ln\left| 4\right|}\) ?

masz wzór podany przez kalwi, \(\displaystyle{ \frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b}h(x)}\), co jest u Ciebie \(\displaystyle{ a}\) a co jest \(\displaystyle{ b}\) ?

\(\displaystyle{ \ln 4}\) to liczba jak każda inna, więc dzielisz ją i mnożysz normalnie jak każdą inną stałą, nic nie pomijasz.

tak jak napisałem, b to\(\displaystyle{ 4}\) a to \(\displaystyle{ 1}\) nie wiem jak mogę to inaczej zrozumieć

skąd wziąłeś takie wartości?

\(\displaystyle{ \text{a}}\) to kres dolny przedziału, dla którego wartość średnią liczysz; \(\displaystyle{ \text{b}}\) to dla odmiany jego kres górny. Czyli \(\displaystyle{ \text{a} = 0, \text{b} = \frac{1}{4}}\).