Matematyka.pl

Tak samo jak w poprzednim temacie proszę o pomoc. Najważniejsze jest bym nie wywaliła się na doborze granic całkowań.

Nadal splatamy funkcję samą z sobą, no bo takie jest zadanie, w kolejnym robimy z inną funkcją, ale potem jest jeszcze średnia arytmetyczna.
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 2x& x\in[0,1] \\ 0&x\notin[0,1] \end{cases} }\)
Zobaczmy, jak sobie poradzę ze standardową notacją. Iks jest przesunięciem.

\(\displaystyle{ splot=(*)= \int_{-\infty}^{\infty}f(t)f(x-t)dt}\)

Dla \(\displaystyle{ x<0}\) lub \(\displaystyle{ x>2}\)
\(\displaystyle{ (*)=0}\)
I teraz pytanie. To jest zwykłe równa się czy tożsamościowe równa się? No bo teoretycznie splot jest funkcją.

Dla \(\displaystyle{ x\in[0,1]}\)
\(\displaystyle{ (*)= \int_{0}^{x} 2t(x-t)dt=(t^{2}- \frac{2}{3}t^{3})^{x}_{0}=x^{2}- \frac{2}{3} x^{3}}\)

Dla \(\displaystyle{ x\in[1,2]}\)
\(\displaystyle{ (*)= \int_{x-1}^{1}2t(x-t)dt = -\frac{1}{3} -(x-1)^{2}+ \frac{2}{3} (x-1)^{3}}\)

Pierwsza całka: \(\int\limits_{0}^{x} f(x)f(x-t) dt = \int\limits_{0}^{x} 2t\cdot2(x-t) dt = \int\limits_{0}^{x}4xt-4t^2 dt = 4x\int\limits_{0}^{x} t \ dt - 4\int\limits_{0}^{x}t^2\ dt = \frac{4x^3}{2}-\frac{4x^3}{3}=\frac{2x^3}{3} \). W drugiej powinno wyjść \((2x-\frac{4}{3})-(2x(x-1)^2-\frac{4}{3}(x-1)^3) \).

A ok dzięki