Matematyka.pl

Proszę sprawdzić czy dobrze rozwiązałam zadanie i jeżeli nie, to gdzie się pomyliłam. Mój doktor jest zły, że ja tego nie rozumiem i że ja po godzinie tłumaczenia wszystko policzyłam źle, więc postanowiłam, że się nauczę.
Policzyłam parę przykładów, ale wstawiam po jednym. Treść jest prosta - są funkcje gęstości prawdopodobieństwa policz splot. Na początek splot samej ze sobą.

I są pewne rzeczy, którym nie ogarniam. Ostatecznie splot jest pewną funkcją... Jest funkcją przesunięcia, które w tym splocie występuje? I tak, zrobiłam zamianę zmiennych, bo łatwiej jest mi całkować po iksach a za przesunięcie wziąć \(\displaystyle{ a}\).

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{2}e^{x} ; x\in [0,\ln 3] \\ 0; x \notin [0,\ln 3]\end{cases} }\)
\(\displaystyle{ splot=(*)=(f*f)(a)= \int_{-\infty}^{\infty} f(x)f(a-x)dx}\)

1) \(\displaystyle{ a<0}\) lub \(\displaystyle{ a>2\ln 3}\)
\(\displaystyle{ (*)=0}\), bo przedziały, na których funkcje są niezerowe są rozłączne

2) \(\displaystyle{ a\in [0, \ln 3]}\)
\(\displaystyle{ (*)= \int_{0}^{a} \frac{1}{2} \frac{1}{2} e^{x}e^{a-x}dx= \frac{1}{4} ae^{a}}\)
3)\(\displaystyle{ a\in[\ln 3, 2\ln3]}\)
\(\displaystyle{ (*)= \frac{1}{4} \int_{a-1}^{\ln 3} e^{x}e^{a-x}dx= \frac{1}{4}(\ln 3 +1-a)e^{a} }\)

Dobrze? Jak bardzo źle? Nie wywaliłam się na przedziałach całkowania?

Większość raczej dobrze. Jedynie co bym zmienił to w przypadku trzecim \(\displaystyle{ \frac{e^{a}}{4}( -a+\red{\ln 9})}\)

Większość raczej dobrze? To dobrze czy nie dobrze??

Dodano po 1 minucie 46 sekundach:
Nie rozumiem. To jest po prostu całka ze stałej po przedziale o długości \(\displaystyle{ \ln 3 -a+1}\), dlaczego tam jest \(\displaystyle{ \ln 9}\)? O.O

Niepokonana pisze: ↑29 gru 2023, o 23:07 Większość raczej dobrze? To dobrze czy nie dobrze??

To znaczy napisałem Ci której części rozwiązania powinnaś się przyjrzeć. A resztę uznałem za poprawną (choć każdy może się pomylić więc napisałem raczej; poza tym nie chce mi się dokładnie sprawdzać rachunków i tylko je przeglądam krytycznym okiem).

Niepokonana pisze: ↑29 gru 2023, o 23:07 Nie rozumiem. To jest po prostu całka ze stałej po przedziale o długości \(\displaystyle{ \ln 3 -a+1}\), dlaczego tam jest \(\displaystyle{ \ln 9}\)? O.O

Wiesz, że mogę napisać dokładnie to samo? To znaczy. Ja też nie rozumiem. To jest po prostu całka ze stałej po przedziale długości \(\displaystyle{ 2\ln 3 - a}\), dlaczego tam jest \(\displaystyle{ -1}\)? Bo się tu pomyliłaś i zwracam Ci uwagę na to miejsce. Powinno być

Aaa ok dzięki teraz rozumiem. Już pamiętam.