Niech \(\displaystyle{ y=f\left( u\right)}\), będzie funkcją ciągłą \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR _{+} .}\)
Wtedy funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest całkowalna na każdym przedziale domkniętym \(\displaystyle{ \left[ a,b\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ a \le b}\).
Wykażemy, że wtedy:
\(\displaystyle{ \int\limits_{a}^{b} f\left( u\right)du = G\left( b\right)- G\left( a\right),}\)
dla dowolnej ustalonej funkcji pierwotnej \(\displaystyle{ G}\) funkcji \(\displaystyle{ f}\).
DOWÓD TEGO FAKTU:
Dla każdego \(\displaystyle{ x \ge a}\), niech:
\(\displaystyle{ F\left( x\right) = \int\limits_{a}^{x} f\left( u\right) d\left( u\right).}\)\(\displaystyle{ }\)
Wykażemy najpierw, że:
\(\displaystyle{ F ^{'}\left( x\right) =f\left( x\right), \hbox{ dla każdego } x>a.}\)
Niech \(\displaystyle{ x>a}\), i niech \(\displaystyle{ x_1>x.}\)
Wiemy, że wartość funkcji \(\displaystyle{ F\left( x_1\right)}\), zdefiniowana jako całka, oznacza pole pomiędzy wykresem funkcji \(\displaystyle{ y= f\left( u\right)}\), a osią \(\displaystyle{ x}\), od punktu \(\displaystyle{ u=a}\) do punktu \(\displaystyle{ u=x_1}\). Podobnie wartość \(\displaystyle{ F\left( x\right)}\) oznacza odpowiednie pole. Ponieważ pole sumy dwóch zbiorów rozłącznych jest równe sumie (arytmetycznej) ich pól, więc różnica \(\displaystyle{ F\left( x_1\right) - F\left( x\right)}\) oznacza pole pomiędzy wykresem funkcji \(\displaystyle{ y=f(u)}\), a osią \(\displaystyle{ x}\), od punktu \(\displaystyle{ u=x}\) do punktu \(\displaystyle{ u=x_1}\). Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła, to na mocy twierdzenia Weierstrassa funkcja ta osiąga wartość najmniejszą \(\displaystyle{ m \in \RR_+}\) i osiąga wartość największą \(\displaystyle{ M \in \RR_+}\) w przedziale \(\displaystyle{ \left[ x, x _{1} \right]}\). Dokładniej, dla \(\displaystyle{ x_1>x}\), to niech:
\(\displaystyle{ M\left( x_1\right)= \sup\limits_{t \in \left[ x,x_1\right] } \left\{ f\left( t\right) \right\};}\) i niech:
\(\displaystyle{ m\left( x_1\right) = \inf\limits_{t \in \left[ x,x_1\right] } \left\{ f\left( t\right) \right\}. }\)
Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła, to:
\(\displaystyle{ \lim_{ x_1\to x ^{+} } m\left( x_1\right) =f \left( x\right) = \lim_{ x_1\to x ^{+} } M\left( x_1\right).}\)
Ale ponieważ:
\(\displaystyle{ \left( x_1-x\right)m\left( x_1\right) \le F\left( x_1\right)-F\left( x\right) \le \left( x_1-x\right)M\left( x_1\right) ,}\)
gdyż iloczyn po lewej stronie nierówności oznacza pole prostokąta od punktu \(\displaystyle{ x}\) do punktu \(\displaystyle{ x_1}\) na pierwszej osi, i o wysokości \(\displaystyle{ m}\); i podobnie iloczyn po prawej stronie nierówności oznacza pole odpowiedniego prostokąta o wysokości \(\displaystyle{ M}\), widać więc, że w tym drugim przypadku pole to będzie większe lub równe od pola pod wykresem funkcji a nad pierwszą osią \(\displaystyle{ u}\), zobacz poniższą ilustrację: \(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ m\left( x_1\right) \le \frac{F\left( x_1\right)-F\left( x\right) }{x_1-x} \le M\left( x_1\right). }\)
A ponieważ:
\(\displaystyle{ \lim_{ x_1\to x ^{+} } m\left( x_1\right) =f \left( x\right) = \lim_{ x_1\to x ^{+} } M\left( x_1\right)}\), to:
\(\displaystyle{ f\left( x\right)= \lim_{ x_1\to x ^{+} } m\left( x_1\right) \le \lim_{ x_1\to x_{+} } \frac{F\left( x_1\right)-F\left( x\right) }{x_1-x} \le \lim_{ x_1\to x ^{+} } M\left( x_1\right)=f\left( x\right).
}\)
A zatem:
\(\displaystyle{ f\left( x\right)= \lim_{ x_1\to x ^{+} } \frac{F\left( x_1\right)-F\left( x\right) }{x _{1}-x } = \lim_{ x_1\to x} \frac{F\left( x_1\right)-F\left( x\right) }{x_1-x} = F ^{'} \left( x\right);}\)
i, z dowolności wyboru elementu \(\displaystyle{ x,}\) otrzymujemy: \(\displaystyle{ F'=f. }\)
Niech teraz \(\displaystyle{ G}\) będzie dowolną funkcją pierwotną funkcji \(\displaystyle{ f}\). Wtedy, na mocy tego co udowodniliśmy, również \(\displaystyle{ F}\) jest funkcją pierwotną funkcji \(\displaystyle{ f}\), a zatem: dla pewnej stałej \(\displaystyle{ C \in \RR}\), mamy: \(\displaystyle{ F\left( x\right)= G\left( x\right) +C}\), dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR, x \ge a}\).
DOWÓD TEGO FAKTU::
\(\displaystyle{ F\left( a\right)= \int\limits_{a}^{a} f\left( u\right) du= 0}\).
Na mocy powyższej charakteryzacji funkcji pierwotnych funkcji \(\displaystyle{ f}\), otrzymujemy: \(\displaystyle{ F\left( x\right)= G\left( x\right)+C}\), gdzie to zachodzi dla pewnej stałej \(\displaystyle{ C \in \RR}\), oraz dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\), \(\displaystyle{ x \ge a}\). A zatem, w szczególności:
\(\displaystyle{ F\left( a\right) = G\left( a\right)+C = 0}\),
a zatem:
\(\displaystyle{ C=-G\left( a\right)}\).
A zatem, dla każdego \(\displaystyle{ b \in \RR, b>a}\), mamy:
\(\displaystyle{ \int_\limits{a}^{b} f\left( u\right) du= F\left( b\right)= G\left( b\right)+C= G\left( b\right) -G\left( a\right),}\)
dla dowolnej ustalonej funkcji pierwotnej \(\displaystyle{ G}\) funkcji \(\displaystyle{ f.\square}\)
W praktyce spotyka się takie straszne zjawisko, że wyznaczając całkę nieoznaczoną, wyznacza się funkcję pierwotną danej funkcji, a potem dopisuje się do niej dowolną stałą \(\displaystyle{ C}\). Ciekawe jestem jakim cudem ??? To już jest prawdziwa magia. W matematyce (tzn. w rozumowaniu matematycznym) nic nie dzieje się bez przyczyny. A zatem takie przejście jest kompletną bzdurą (no chyba, że weźmiemy \(\displaystyle{ C=0}\)). Po co tak robić?? Może tylko po to, żeby dopasować całkę do formalnej definicji całki nieoznaczonej. Tylko, jak widać na moim przykładzie, takie postępowanie nijak nawet nie przypomina formalnej definicji- nie róbcie dziadostwa z matematyki
Głowa boli...Jasne jest, że jeżeli boki prostokąta mają długości naturalne dodatnie, to jego pole jest równe iloczynowi długości ich boków. W książce 'Co to jest matematyka' uzasadniono, że odpowiedni do tego fakt będzie zachodził dla wymiernych długości boków. Aby to uzasadnić weźmy trochę konkretniejszą sytuację; tzn. niech: \(\displaystyle{ a= \frac{m}{2},b= \frac{m'}{3}}\), gdzie \(\displaystyle{ m,m' \in \NN_+}\). Rozważmy rozkład tego kwadratu na kwadraciki jednostkowe o wspólnej mierze \(\displaystyle{ \frac{1}{6}= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}\). Wtedy pole takiego jednostkowego kwadratu wynosi oczywiście \(\displaystyle{ \frac{1}{36}}\). Wszystkich takich kwadracików jest \(\displaystyle{ \left( 3m\right) \cdot \left( 2m'\right)}\), zatem pole całego prostokąta wynosi:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{36} \right)6m \cdot m'= \frac{1}{6} m \cdot m'=}\)
i ponieważ \(\displaystyle{ m=2a}\) i \(\displaystyle{ m'= 3b}\), więc to jest równe:
\(\displaystyle{ = ab.\square}\)
Zapewne w podobny sposób można uzasadnić wzór na pole prostokąta o dowolnych dodatnich wymiernych długościach boków.
Jeśli zaś \(\displaystyle{ a,b \in \RR_+}\) są dowolnymi liczbami dodatnimi, a \(\displaystyle{ S}\) jest prostokątem o bokach \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), to:
Przybliżamy te długości liczbami wymiernymi \(\displaystyle{ \QQ\ni x_n \approx a}\) i \(\displaystyle{ \QQ\ni y_n\approx b}\). Widać, że im lepiej przybliżymy te obydwie osie prostokąta tym dokładniej obliczymy jego pole. Stąd pole takiego prostokąta jest równe:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to + \infty } \left( x_{n} \cdot y _{n}\right) = \lim_{ n\to + \infty } x_n \cdot \lim_{ n\to + \infty } y_n= a \cdot b.\square}\)
Zastosujmy podobne rozumowanie dla kostki prostopadłościennej:
Oczywistym jest, że objętość kostki o wymiarach naturalnych dodatnich jest równa iloczynowi długości ich krawędzi.
Wykażemy, że podobny fakt będzie zachodził dla kostki o wymiernych, a potem wykażemy fakt dla kostki o dowolnych (nawet niewymiernych) długościach ich krawędzi.
Rozważmy kostkę o wymiarach \(\displaystyle{ x \times y \times z}\), gdzie \(\displaystyle{ x= \frac{a}{n _{a} } \in \QQ}\), \(\displaystyle{ y= \frac{b}{n_b} \in \QQ}\) i \(\displaystyle{ z= \frac{c}{ n _{c} } \in \QQ.}\)
Niech \(\displaystyle{ N:= \frac{1}{n_a \cdot n_b \cdot n_c}}\) będzie wspólną miarą tych trzech osi.
Wtedy dzieląc kostkę na jednostkowe sześcianiki o boku \(\displaystyle{ N}\) otrzymamy, że jego objętość jest równa:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{n_a n _{b} n _{c} } \right) ^{3}}\), a wszystkich takich sześcianów jest \(\displaystyle{ \left( a \cdot n _{b} n _{c} \right) \cdot \left( b \cdot n _{a} \cdot n _{c} \right) \cdot \left( c \cdot n _{a} \cdot n _{b} \right) =}\)
i ponieważ \(\displaystyle{ a= x \cdot n_a, b=y \cdot n_b}\) i \(\displaystyle{ c= z \cdot n_c}\), to objętość całej kostki jest równa:
\(\displaystyle{ = \left( \frac{1}{n_a n _{b} n _{c} } \right) ^{3} \cdot \left( a \cdot n _{b} \cdot n _{c} \right) \cdot \left( b \cdot n _{a} \cdot n _{c} \right) \cdot \left( c \cdot n _{a} \cdot n _{b} \right) =\left( \frac{1}{n_a \cdot n _{b} \cdot n _{c} } \right) ^{3} \cdot \left( x \cdot n_a \cdot n_b \cdot n_c\right) \left( y \cdot n_b \cdot n_a \cdot n_c\right) \cdot \left( z \cdot n_c \cdot n_a \cdot n_b\right) = \\ = xyz.\square}\)
A jeśli \(\displaystyle{ a,b,c \in \RR_+}\), a \(\displaystyle{ S}\) jest kostką o krawędziach \(\displaystyle{ a,b}\) i \(\displaystyle{ c,}\) to podobnie jak dla pola, podobnie i tutaj, przybliżając te długości osi liczbami wymiernymi otrzymamy podobnie, że objętość takiej kostki wynosi \(\displaystyle{ abc}\).
Dodam tutaj jeszcze jeden dowodzik:
Przypomnę może najpierw, że podzbiór\(\displaystyle{ A \subset \RR}\) prostej liczb rzeczywistych nazywamy zbiorem całkowito-pełnym, gdy z każdymi jego dwoma elementami \(\displaystyle{ a_1, a_2}\) każda pośrednia liczba całkowita (tzn. taka liczba całkowita, że \(\displaystyle{ a_1<b<a_2}\)) do niego należy.
Czyli zbiór \(\displaystyle{ A \subset \RR}\) jest całkowito-pełny, gdy wchodząc do środka zbioru zbiór taki zawiera wszystkie liczby całkowite.
Można pokazać, że jeśli zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest całkowito-pełny, to przekrój \(\displaystyle{ A \cap \ZZ}\) jest przedziałem w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( \ZZ, \le\right)}\).
My wykażemy, że przekrój dwóch zbiorów całkowito-pełnych jest zbiorem całkowito-pełnym.
Oto:
PROSTY DOWÓD TEGO FAKTU:
Niech \(\displaystyle{ A,B \subset \RR}\) będą zbiorami całkowito-pełnymi. Wykażemy, że przekrój \(\displaystyle{ A \cap B}\) jest zbiorem całkowito-pełnym.
W tym celu weźmy dwa elementy \(\displaystyle{ a_1, a_2 \in A \cap B}\), oraz weźmy liczbę całkowitą \(\displaystyle{ b}\), taką, że \(\displaystyle{ a_1<b<a_2}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ b \in A \cap B}\). Wtedy \(\displaystyle{ a_1, a_2 \in A, b \in \ZZ}\) i \(\displaystyle{ a_1<b<a_2}\), więc ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest całkowito-pełny, to możemy wnioskować, że \(\displaystyle{ b \in A}\). Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest całkowito-pełny, więc rozumując podobnie otrzymujemy, że \(\displaystyle{ b \in B}\). A zatem \(\displaystyle{ b \in A \cap B,}\) i zbiór \(\displaystyle{ A \cap B}\) jest całkowito-pełny\(\displaystyle{ .\square}\)
