Matematyka.pl

Witam!
Mam problem, który polega na tym, że obliczając całkę wykorzystywałem dwie nieco różne metody, ale niestety wyniki jakie otrzymałem się nie zgadzają. W żadnym z poniżej zaprezentowanych toków rozumowania nie widzę błędu dlatego proszę o pomoc i wyjaśnienie.

1 metoda:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{ \sqrt{3} }{3} } \frac{2}{1-t^{2} } \mbox{d}t =2\int_{0}^{ \frac{ \sqrt{3} }{3} } \frac{1}{1- t^{2} } \mbox{d}t=2\int_{0}^{ \frac{ \sqrt{3} }{3} }( \frac{A}{1-t} + \frac{B}{1+t} ) \mbox{d}t}\)
Z równania:
\(\displaystyle{ A(1+t)+B(1-t)=1}\)
otrzymujemy:
\(\displaystyle{ A= \frac{1}{2} B= \frac{1}{2}}\)
Wracając do całki mamy:
\(\displaystyle{ 2* \frac{1}{2} \int_{0}^{ \frac{ \sqrt{3} }{3} }( \frac{1}{1-t} + \frac{1}{1+t} ) \mbox{d}t=\ln( \frac{2}{3})}\)

2metoda:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{ \sqrt{3} }{3} } \frac{2}{1- t^{2} } \mbox{d}t=-2\int_{0}^{ \frac{ \sqrt{3} }{3} } \frac{1}{ t^{2}-1 } \mbox{d}t=-2\int_{0}^{ \frac{ \sqrt{3} }{3} }( \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t+1} ) \mbox{d}t}\)
Z równania:
\(\displaystyle{ A(t+1)+B(t-1)}\)
Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ A= \frac{1}{2} B=- \frac{1}{2}}\)
Wracając do całki mamy:
\(\displaystyle{ -2* \frac{1}{2}\int_{0}^{ \frac{ \sqrt{3} }{3} }( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1} ) \mbox{d}t
=\ln(2+ \sqrt{3})}\)
Jedyna różnica w tych metodach to wyłączenie minusa na samym początku, aby rozkład na czynniki proste wyglądał trochę inaczej, ale nie rozumiem czemu wyniki się różnią.

edit: Przy pisaniu postu pominąłem miejsce, w którym używałem wzoru z Twierdzenia Newtona-Leibniza za pomocą którego otrzymałem wynik końcowy, ponieważ wydaje mi się, że nie popełniłem błędu w tym miejscu.

Wynik z drugiego sposobu jest poprawny, a ten z pierwszego - niepoprawny. Przy czym pomyliłeś się w pierwszym sposobie w samym podstawieniu, a nie w metodzie rozwiązania. Mamy:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{\sqrt{3}}{3} }\left( \frac{1}{1-t}+ \frac{1}{1+t} \right) \,\dd t=\\=\left( -\ln|1-t|+\ln|1+t|\right)\bigg|^{\frac{\sqrt{3}}{3}}_0=\left(\ln\left| \frac{1+t}{1-t} \right| \right)\bigg|^{\frac{\sqrt{3}}{3}}_0=\ln\left( \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}} \right)=\ln(2+\sqrt{3})}\)

Dziękuję za pomoc, już widzę swój błąd.