Matematyka.pl

Witam wszystkich.
Zadanie jest takie:

Obliczyc pole czesci plata \(\displaystyle{ x= \frac{y^2+z^2}{2}}\), wycietej przez powierzchnie \(\displaystyle{ x=1}\) i \(\displaystyle{ x=y^2}\)

Robilam tak: Rzut krzywych przeciecia sie paraboloidy i walca parabolicznego: \(\displaystyle{ |y|=|z|}\), warunek \(\displaystyle{ x=1}\) dal \(\displaystyle{ z=\pm 1 }\)
Wobec symetrii plata mozna obliczyc pole czesci, znajdujacej sie w pierwszym oktancie, a wynik pomnozyc przez 4. Wobec tego pole

\(\displaystyle{ S= 4\iint_D\sqrt{1+y^2+z^2}dydz}\), gdzie \(\displaystyle{ D=\{(y,z)| y\in[0,z], ~z\in[0,1] \}}\)

\(\displaystyle{ S=4\int_0^1\int_0^z\sqrt{1+y^2+z^2}dydz}\)



Calka nie wyglada zbyt milo. Zamiana zmiennych na biegunowe daje calke nieelemenarna z \(\displaystyle{ (\sin x)^{-\frac{3}{2}} }\).

Prosilabym o przegladniecie i ewentualne wykrycie bledu; jako samouk myle sie czasem fatalnie.

Chyba pomyliłaś się w obszarze całkowania - powinien to być fragment koła, a nie kwadratu. Po przejściu na współrzędne biegunowe wychodzi prosta całka \(\displaystyle{ \int_0^{\sqrt{2}} r \sqrt{1+r^2} \, \dd r}\) razy odpowiedni kąt.