Matematyka.pl

Witam. Mam kłopot z wyznaczeniem pochodnej z funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \int_{-5}^{x^3}|t| \dd t }\) W takich przypadkach korzystam ze wzoru \(\displaystyle{ f'(x)=h(g(x))g'(x)}\), gdy \(\displaystyle{ f(x)= \int_{a}^{g(x)}h(t) \dd t }\), ale tu gdy pozbywam się wartości bezwzględnej rozpatrując odpowiednie przedziały \(\displaystyle{ x}\)-a, to otrzymuję jedną całkę z granicami rzeczywistymi, bez funkcji. Jak to powinno być policzone?

`\int_{-5}^{x^2}=\int_{-5}^0+\int_0^{x^2}`

Tam w górnej granicy jest \(\displaystyle{ x^3}\), a nie \(\displaystyle{ x^2}\).

OK, juz się poprawiam.
Możesz wykorzystać fakt, że funkcją pierwotną funkcji `|x|` jest `\sgn(x)|x|^2/2`

Dodano po 40 minutach 20 sekundach:
Szczerze mówiąc nie wiem jaki dokładnie masz problem. Korzystając ze wzoru na pochodną dostajesz
\(\displaystyle{ f'(x)=|x^3|\cdot (x^3)'=3|x^3|x^2=3\mathrm{sgn}(x)x^5}\)

Jak to zrobić bez wykorzystania tego faktu?

Korzystając z wzoru, który podałaś. Zrobiłem to wyżej.

Dodano po 12 minutach 45 sekundach:
Albo korzystając z faktu, że
\(\displaystyle{ f(x)=\int_{-5}^{x^3} |t|dt=\int_{-5}^{0} |t|dt+\int_{0}^{x^3} |t|dt=\int_{-5}^{0} |t|dt+\mathrm{sgn}(x)\int_{0}^{x^3} tdt}\)

Edyta, jeśli chcesz bez signum, to możesz po prostu rozpatrzyć przypadki x ujemnego i dodatniego (nieujemnego). Oczywiście wychodzi na to samo.

a4karo pisze: ↑7 mar 2023, o 23:12
Szczerze mówiąc nie wiem jaki dokładnie masz problem. Korzystając ze wzoru na pochodną dostajesz
\(\displaystyle{ f'(x)=|x^3|\cdot (x^3)'=3|x^3|x^2=3\mathrm{sgn}(x)x^5}\)

Pewnie powinienembył to od razy dopisać
\(\displaystyle{ f'(x)=|x^3|\cdot (x^3)'=3|x^3|x^2=3|x^5|}\)