Matematyka.pl

Dość fajne i trudne zadanie:

Wąż o długości \(\displaystyle{ l}\) ślizga się po sinusoidzie\(\displaystyle{ f(x)=\sin x}\) kiedy odległość między głową a ogonem jest największa a kiedy najmniejsza...

wiemy, że długość wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) między punktami \(\displaystyle{ x_1, x_2}\) wynosi
\(\displaystyle{ L = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{ 1 + (f'(x))^2 } \dd x }\)
czyli w naszym przypadku
\(\displaystyle{ l= \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{ 1 + \cos^2 x } \dd x }\)
i wiemy że ta długość jest stała dana z zadania
z drugiej strony mamy Pitagorasa do liczenia odległości w prostej linii od głowy do ogona
\(\displaystyle{
m = \sqrt{ \left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( \sin x_2 - \sin x_1 \right)^2 }
}\)

szkoda, że jestem słaby w całki i nie mam pojęcia jak to poprawnie zrobić, ale założę się, że da się z tej całki zrobić np. \(\displaystyle{ x_2}\) w zależności od \(\displaystyle{ x_1, l}\) i wjechać z tym do drugiego równania, wtedy mielibyśmy funkcję jednej zmiennej i można by się brać za liczenie jej ekstremów i chętnie się dowiem jak, ale sam się za to nie biorę

Jest to całka eliptyczna i ciężko tak normalnie to coś scałkować, można też z Mnożników Lagrange’a ale równania wychodzą mało zjadliwe...

Ogólnie można wziąć jakiś trywialny przykład, niech głowa będzie w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) a ogon w \(\displaystyle{ (\pi, 0)}\) taki wąż ma długość jednej połówki sinusoidy i odległość od głowy do ogona \(\displaystyle{ \pi}\) ale ten sam wąż może mieć głowę w \(\displaystyle{ \left( \frac{\pi}{2}, 1 \right)}\) i ogon w \(\displaystyle{ \left( \frac{3\pi}{2}, -1 \right)}\) a wtedy odległość głowa-ogon będzie równa \(\displaystyle{ \sqrt{ 4 + \pi^2 } > \pi}\) i nawet intuicyjnie wydaje się, że ta odległość jest proporcjonalna do różnicy wartości funkcji w głowie i ogonie, jedyny problem jaki tu widzę to że zmiana \(\displaystyle{ x}\) głowy o \(\displaystyle{ \Delta x}\) nie oznacza zmiany \(\displaystyle{ x}\) ogona o tyle samo bo funkcja sinus różnie rośnie/maleje w różnych punktach
chyba że można jakoś pokazać, że różnica zmian między głową a ogonem jest pomijalnie mała, co za tym idzie odległość na osi \(\displaystyle{ x}\) między głową a ogonem jest stała, wówczas z samego Pitagorasa widać j.w. że szukana odległość zależy od różnicy w wartości funkcji