Obszar ograniczony parabolami we współrzędnych biegunowych

Mlodsza · Post autor: **Mlodsza** » 9 maja 2025, o 01:56

Prosze o wybaczenie, jesli dzial wybralam niewlasciwy.

Taka troche sztuka dla sztuki:
Wyrazic obszar

\(\displaystyle{ D=\{(x,y)\in\mathbb R^2|\; x\in[0,1], \;\; y\in[4\sqrt x, 2x^2]\} }\)

we wspolrzednych biegunowych.

Same krzywe zapisuje sie latwo jako \(\displaystyle{ r(\varphi)}\) ale mam watpliwosci co do zakresu kata.
Mozna prosic o podpowiedz?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 9 maja 2025, o 04:48

A co typujesz?

Niepokonana · Post autor: **Niepokonana** » 10 maja 2025, o 19:57

Podpowiedź: kąt nie musi wyjść liczbowy, może być jakąś tam funkcją zmiennej \(\displaystyle{ r}\), bo to nie jest kawałek koła, żeby obie zmienne miały liczbowe przedziały.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 10 maja 2025, o 22:05

Zadziwiająca to funkcja \(\displaystyle{ \varphi=\varphi(r)}\), która każdemu \(\displaystyle{ r}\) w pewnym zakresie przypisuje dwie wartości.

@Mlodsza Żeby wyznaczyć zakres kąta sprawdź, jakie kąty z osią \(\displaystyle{ OX}\) tworzą obie krzywe w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\)

Niepokonana · Post autor: **Niepokonana** » 11 maja 2025, o 00:28

To się nazywa MULTIFUNKCJA, panie doktorze nauk matematycznych. A tak na poważnie to co za problem, żeby był przedział \(\displaystyle{ [\phi(r),\chi(r)]}\)?
Jaki masz pomysł z szukaniem kąta w \(\displaystyle{ (0,0)}\)? Przecież pierwiastek nie jest tam różniczkowalny, to jedna z tych krzywych jest nachylona pod nieskończenie wielkim kątem.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 11 maja 2025, o 05:00

Używanie pojęcia multifunkcji do rozwiązania prostego zadania z analizy 1 ??
No właśnie, co za problem. Po prostu wylicz te przedziały i pokaż, jak stąd wyniknie odpowiedź na pytanie autorki zadania.

Jak sama zauważyłaś, krzywa `y=4\sqrt{x}` nie jest różniczkowalna w zerze, a styczna do niej jest pionowa. (Ten kąt nie jest nieskończony, jego tangens jest nieskończony - warto umieć rozróżniać te pojęcia). Student na pierwszym roku powinien umieć zinterpretować ten fakt.

A jeżeli nie umie, to powinien umieć obrócić kartkę z rysunkiem o `90` stopni

Niepokonana · Post autor: **Niepokonana** » 11 maja 2025, o 11:37

a4karo nie złapałeś żartu. Nie ma tu żadnej multifunkcji.
No ok, czyli mamy przedział kątów \(\displaystyle{ [0, \frac{\pi}{2}] }\). Ale potem ten kąt się zwężą. Nie przekonuje mnie to. Może coś z moją uczelnią jest nie tak, bo nie kojarzę takich zadań na analizie1 a na pewno nie metodą pochodnych w ten sposób.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 11 maja 2025, o 12:18

No cóż, pan Jerzy też nie zrozumiał żartu pana Karola.

Otóż wyobraź sobie, że tu akurat można użyć multifunkcji, ale trzeba o tym wiedzieć trochę więcej niż znać termin.
A jak się zrobi obrazek

to widać, że niebieska parabola tworzy z osią kąt `0`, (bo pochodna tej funkcji w zerze jest zerowa) a czerwona `\pi/2`.
A jak się w to nie chce uwierzyć, to wystarczy napisać czerwona parabolę tak: \(\displaystyle{ \red {x=y^2/4}}\) żeby zobaczyć ten fakt.

A jak si,e nie wierzy w obrazki, to można skorzystać z faktu, że z góry wiadomo, że krzywa leży w pierwszej ćwiartce, więc \(\displaystyle{ 0\le\varphi\le\pi/2}\).
jak jesteśmy na niebieskiej krzywej, to \(\displaystyle{ \tan\varphi=\frac{y}{x}=2x\to 0}\) gdy \(\displaystyle{ x\to 0}\),
a jak jesteśmy na czerwonej, to \(\displaystyle{ \tan\varphi=\frac{y}{x}=\frac{2}{\sqrt{x}}\to \infty}\) gdy \(\displaystyle{ x\to 0}\),

Zaraz, chwila, co ja tutaj robię? To przecież Ty miałaś udzielać korepetycji

Niepokonana · Post autor: **Niepokonana** » 11 maja 2025, o 12:28

Żeby nie było, korepetycji udzielałam humanistom w liceum. Inżynierom nie chciałam na razie, bo mają inaczej rozłożony materiał niż matematycy. Ostatecznie odpuściłam se korki po tym jak jeden z moich uczniów chciał bym mu się rozbierała, ale to offtopic.

Nie no ja się zgadzam z Tobą, ale mamy sparametryzować aż do \(\displaystyle{ x=1,}\) a nie tylko w okolicy zera. No ja widzę o co Ci chodzi bez tego rysunku, ale co dalej? Bo wraz z długością promienia kąt między krzywymi się dość konkretnie zmienia.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 11 maja 2025, o 12:33

gdybyś przeczytała post autorki, to bys wiedziała, że parametryzację \(\displaystyle{ r=r(\varphi)}\) już ma i pyta tylko o zakres kąta

Niepokonana · Post autor: **Niepokonana** » 11 maja 2025, o 12:36

A okej.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 11 maja 2025, o 12:52

Niepokonana pisze: 11 maja 2025, o 12:28
Nie no ja się zgadzam z Tobą, ale mamy sparametryzować aż do \(\displaystyle{ x=1,}\) a nie tylko w okolicy zera. No ja widzę o co Ci chodzi bez tego rysunku, ale co dalej? Bo wraz z długością promienia kąt między krzywymi się dość konkretnie zmienia.

A powiesz mi jeszcze dlaczego do `x=1`?

Niepokonana · Post autor: **Niepokonana** » 11 maja 2025, o 13:09

No bo w zadaniu jest napisane, że \(\displaystyle{ x\in[0,1]}\).

Matematyka.pl

Obszar ograniczony parabolami we współrzędnych biegunowych

Obszar ograniczony parabolami we współrzędnych biegunowych

Re: Obszar ograniczony parabolami we współrzędnych biegunowych

Re: Obszar ograniczony parabolami we współrzędnych biegunowych

Re: Obszar ograniczony parabolami we współrzędnych biegunowych

Re: Obszar ograniczony parabolami we współrzędnych biegunowych

Re: Obszar ograniczony parabolami we współrzędnych biegunowych

Re: Obszar ograniczony parabolami we współrzędnych biegunowych

Re: Obszar ograniczony parabolami we współrzędnych biegunowych

Re: Obszar ograniczony parabolami we współrzędnych biegunowych

Re: Obszar ograniczony parabolami we współrzędnych biegunowych

Re: Obszar ograniczony parabolami we współrzędnych biegunowych

Re: Obszar ograniczony parabolami we współrzędnych biegunowych

Re: Obszar ograniczony parabolami we współrzędnych biegunowych