Matematyka.pl

Witam,
liczę całkę podwójną i moim obszarem całkowania jest koło dane równaniem \(\displaystyle{ \left( x+ \frac{1}{2} \right) ^{2} + \left( y+ \frac{1}{2} \right) ^{2} \le \frac{1}{2}}\). Czy mógłby mi ktoś powiedzieć jak taki obszar wstawić do całki? Próbuję przejść na współrzędne biegunowe, ale mam z tym problem, gdyż obszar całkowania nie zaczyna się w punkcie \(\displaystyle{ \left( 0,0 \right)}\).

EDIT liczę całkę z funkcji \(\displaystyle{ z=x ^{2} + y ^{2}}\).

Można podstawić przesunięte współrzędne biegunowe.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x(t)=- \frac{1}{2}+r\cos t \\ y(t)=- \frac{1}{2}+r\sin t \end{cases}}\)

gdzie \(\displaystyle{ t\in\left[ 0,2\pi\right]}\) oraz \(\displaystyle{ r\in\left[ 0, \frac{1}{ \sqrt{2} } \right]}\)

Tylko że trzeba policzyć Jakobian.
Ale nie jest to konieczne. Można podstawić normalne współrzędne biegunowe tylko wtedy trzeba odpowiednio ograniczyć \(\displaystyle{ r}\) oraz \(\displaystyle{ t}\). Ograniczenie na \(\displaystyle{ r}\) wyniknie z podstawiania do obszaru po jakim całkujemy. Nierówność

\(\displaystyle{ \left( x+ \frac{1}{2} \right) ^{2} + \left( y+ \frac{1}{2} \right) ^{2} \le \frac{1}{2}}\)

Po podstawianiu współrzędnych biegunowych da \(\displaystyle{ r \le -\left( \sin t+\cos t\right)}\) a jako że \(\displaystyle{ r \ge 0}\) to \(\displaystyle{ t\in\left[ \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \right]}\)

\(\displaystyle{ \int_{D}x^2+y^2 \mbox{d}D= \int_{ \frac{3\pi}{4}}^{ \frac{7\pi}{4}} \int_{0}^{-\left( \sin t+\cos t\right)}r^2r \mbox{d}r \mbox{d}t}\)