1. Funkcja \(\displaystyle{ f}\) ma na przedziale \(\displaystyle{ [0, 2 \pi]}\) ciągłą drugą pochodną i spełnia nierówność \(\displaystyle{ f^{''} (x)>0}\). Pokazać, że:
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2 \pi} f(x) \cos x dx >0}\).
2. Niech \(\displaystyle{ g}\) oznacza funkcje odwrotna do funkcji \(\displaystyle{ f(x) = x \sin x}\), okreslonej na przedziale
\(\displaystyle{ [0, \frac{ \pi}{2} ]}\). Obliczyć całkę
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\frac{ \pi}{2}} g(x)dx}\)
Obliczyć całki.
-
Wierzba
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 17:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Malomice
Obliczyć całki.
Ostatnio zmieniony 17 mar 2012, o 21:12 przez loitzl9006, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Proszę zapoznać się z punktem 2.7 instrukcji LaTeX-a: http://matematyka.pl/latex.htm . Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, cosinus - \cos, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Proszę zapoznać się z punktem 2.7 instrukcji LaTeX-a: http://matematyka.pl/latex.htm . Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, cosinus - \cos, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Obliczyć całki.
ad 1.
Całkując dwa razy przez części mamy:
ad 2.
Całkując dwa razy przez części mamy:
\(\displaystyle{ I = \left[ f'(2\pi) - f'(0)\right] - \int_0^{2\pi} f'(x) \cos x \; \mbox d x}\)
Wyrażenie w nawiasie jest oczywiście dodatnie z założenia, zaś:\(\displaystyle{ \int_0^{2\pi} f'(x) \cos x \; \mbox d x < \int_0^{2\pi} \left| f'(x) \cos x\right| \; \mbox d x \le \int_0^{2 \pi} f''(x) \; \mbox d x = f'(2\pi ) - f'(0)}\)
co dowodzi żądanej nierówności.ad 2.
\(\displaystyle{ \int_0^{ \frac{\pi}{2} } f^{-1} (y) \; \mbox d y \stackrel{y = f(x)}{=} \int_{f^{-1}(0)}^{f^{-1} \left( \frac{\pi}{2} \right)} f^{-1} \bigl(f(x) \bigr) f'(x) \; \mbox d x = \ldots}\)