Matematyka.pl

Oblicz objętość bryły obrotowej wokół osi OX ograniczonej krzywymi
\(\displaystyle{ y=2-x, y= \sqrt{x}}\)

Obliczałam to wzorem \(\displaystyle{ V = \pi \int_{a}^{b} [f ^{2} (x)-g ^{2}(x) ]dx}\)
za \(\displaystyle{ a,b}\) wzięłam \(\displaystyle{ \int_{0}^{2}}\) . Co do tego mam wątpliwości i nie wiem jak to poprawnie zrobić.

Wygląda mi słabo.

Jeśli obracamy \(\displaystyle{ f\left( x\right)}\) generalnie wzór jest taki:

\(\displaystyle{ v= \pi \int_{a}^{b} f\left( x\right) ^{2} \mbox{d}x}\)

Teraz musisz przeanalizować co właściwie obracasz.
Który obszar jest ograniczony krzywymi? Sformułowanie zadania nie jest precyzyjne.
Ja przyjąłbym, że chodzi o obszar ograniczony podanymi funkcjami i osią \(\displaystyle{ OX}\).
Ale może chodziło o obszar ograniczony krzywymi i osią \(\displaystyle{ OY}\)?

Od tego zależy dalsze postępowanie.

Tak jak przyjąłeś obszar ograniczony funkcjami i OX

No to \(\displaystyle{ \int_0^2=\int_0^1+\int_1^2}\) i w każdym obszarze całkujesz inna funkcję. Zgadnij jaką?

A więc: rysunek!

Wyjdzie Ci, że na pewnym przedziale obracasz jedną funkcję a na drugim drugą.
Należy znaleźć tylko te przedziały.

\(\displaystyle{ v= \pi \int_{0}^{1} (\sqrt{x}) ^{2} dx}\)
\(\displaystyle{ v= \pi \int_{1}^{2}(2-x) ^{2} dx}\)

\(\displaystyle{ \pi \int_{0}^{1} (\sqrt{x}) ^{2} dx = \pi \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \pi \int_{1}^{2}(2-x) ^{2} dx= \frac{8}{3} - \frac{7}{3} = \frac{1}{3} \pi}\)
v= \(\displaystyle{ \frac{1}{3} \pi + \frac{1}{2} \pi = \frac{5}{6} \pi}\)
tak ma być?

Jeśli całki zostały dobrze policzone czego nie chce mi się sprawdzać to tak.