Matematyka.pl

B: \(\displaystyle{ 1 \le x^2 + y^2 + z^2 \le 4}\)
Jeżeli gęstość \(\displaystyle{ f(x,y,z) = 7(x^2 + y^2 + z^2)^2}\)

Współrzędne sferyczne i mam:
\(\displaystyle{ \int\limits_{1}^{2}\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int\limits_{0}^{2\pi}7(\rho^2sin\theta^2cos\varphi^2 + \rho^2sin\theta^2sin\varphi^2 + \rho^2cos\theta^2)^2 \rho^2sin\theta d\rho d\theta d\varphi}\)

Szczerze mówiąc, to nie mam pojęcia jak obliczyć tę całkę. Coś źle robię?

To w środku się zwinie do \(\displaystyle{ \rho^2}\) po dwukrotnym skorzystaniu z jedynki tryg. I jeszcze powinien być moduł z jakobianu a nie jakobian, i przy tej wersji \(\displaystyle{ \theta}\) się inaczej zmienia.

Jak zmienia się \(\displaystyle{ \theta}\)?
\(\displaystyle{ 0 \le \theta \le \pi}\)?

Dlaczego moduł z jakobianu?

Tak. W sumie dla \(\displaystyle{ [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]}\) chyba by wyszło to samo, no ale trzymajmy się tego co ma być.
A czemu moduł? Przy zamianie zmiennych mnoży się przez moduł jakobianu, czemu w sumie nie pamiętam, może dlatego, że czasem jak zamieni się zmienne (np. \(\displaystyle{ y}\) z \(\displaystyle{ x}\)) to to opisywana figura się nie zmieni, a jakobian zmieni znak.