Oblicz całkę
\(\displaystyle{
\int\limits_{-1}^{1}\frac{f\left( x\right)T_{k}\left( x\right) }{ \sqrt{1-x^2} }\mbox{d}x\\
}\)
Gdzie \(\displaystyle{ T_{k}\left( x\right) }\) spełnia równanie różniczkowe
\(\displaystyle{ \left( 1-x^2\right)y''\left( x\right)-xy'\left( x\right)+k^{2}y\left( x\right) =0\\y\left( 1\right)=1 \\ x\in\left\langle -1;1\right\rangle }\)
\(\displaystyle{ T_{k}\left( x\right) }\) spełnia także równanie rekurencyjne
\(\displaystyle{
\begin{cases}T_{k+1}\left( x\right)=2xT_{k}\left( x\right)-T_{k-1}\left( x\right)\qquad k \ge 1 \\T_{1}\left( x\right) = x\\T_{0}\left( x\right) =1 \\x\in\left\langle -1;1\right\rangle \end{cases}
}\)
Po podstawieniu \(\displaystyle{ x=\cos{\theta}}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\pi}{f\left( \cos{\theta}\right)\cos{\left( k\theta\right) } \mbox{d}\theta}}\)
Jeżeli lubimy całkę na przedziale symetrycznym względem zera to możemy zapisać ją jako
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\int\limits_{-\pi}^{\pi}{f\left( \cos{\theta}\right)\cos{\left( k\theta\right) } \mbox{d}\theta}}\)
Ale jak tę całkę policzyć ?
Podobno można ją wyrazić za pomocą sumy
Funkcja \(\displaystyle{ f\left( x\right) }\) spełnia określone warunki choć tak do końca nie wiem jakie