Oblicz całkę

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6912
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Oblicz całkę

Post autor: Mariusz M »

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{\pi}{2}}{\left(\ln{\cos{x}}\right)^{n} \mbox{d}x}\\
t =-\ln{\cos{x}}\\
-t = \ln{\cos{x}}\\
e^{-t} = \cos{x}\\
-e^{-t}\mbox{d}t = -\sin{x}\mbox{d}x\\
e^{-t}\mbox{d}t = \sin{x}\mbox{d}x\\
e^{-t}\mbox{d}t = \sqrt{1-e^{-2t}}\mbox{d}x\\
\mbox{d}x = \frac{e^{-t}}{\sqrt{1-e^{-2t}}}\mbox{d}t\\
\int_{0}^{ \infty }{\frac{\left(-t\right)^ne^{-t}}{\sqrt{1-e^{-2t}}}\mbox{d}t}\\
\int_{0}^{ \infty }{\frac{\left(-1\right)^nt^{n}e^{-t}}{\sqrt{1-e^{-2t}}}\mbox{d}t}\\
}\)


\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{ \left( -1\right)^{n}t^{n} \cdot \frac{1}{ \sqrt{1-e^{-2t}} } \right\} = \int_{0}^{ \infty }{\frac{\left(-1\right)^nt^{n}e^{-st}}{\sqrt{1-e^{-2t}}}\mbox{d}t}\\
}\)


Niech
\(\displaystyle{ f\left( t\right)=\frac{1}{\sqrt{1-e^{-2t}}} \\
\mathcal{L}\left\{ f\left( t\right) \right\}=\mathrm{F}\left( s\right)
}\)


Z twierdzenia o różniczkowaniu obrazu dostaniemy całkę którą liczymy

Policzmy przekształcenie Laplace funkcji

\(\displaystyle{ f\left( t\right)=\frac{1}{\sqrt{1-e^{-2t}}} \\
\int_{0}^{ \infty }{\frac{e^{-st}}{\sqrt{1-e^{-2t}}}\mbox{d}t}\\
u = e^{-2t}\\
\mbox{d}u = -2e^{-2t}\mbox{d}t\\
\mbox{d}u = -2u\mbox{d}t\\
\mbox{d}t=-\frac{1}{2u}\mbox{d}u\\
-\frac{1}{2}\int_{1}^{0}{\frac{u^{\frac{s}{2}}}{u\sqrt{1-u}}\mbox{d}u}\\
\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{\frac{u^{\frac{s}{2}-1}}{\sqrt{1-u}}\mbox{d}u}\\
\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{u^{\frac{s}{2}-1}\left( 1-u\right)^{ \frac{1}{2} - 1} \mbox{d}u}\\
=\frac{1}{2}\mathrm{B}\left( \frac{1}{2},\frac{s}{2}\right) \\
}\)


Czyli wyjściowa całka to

\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}^n}{\mbox{d}s^n}\left( \frac{1}{2}\mathrm{B}\left( \frac{1}{2},\frac{s}{2}\right) \right) \biggl |_{s=1} }\)

tylko jak policzyć tę pochodną funkcji Beta
ODPOWIEDZ