Matematyka.pl

Mam problem z pewną podwójną całką oznaczoną. Jak to policzyć?
\(\displaystyle{
\int_{0}^{1} \int_{0}^{y} \sqrt{x} \left( xy + 2\right) dxdy
}\)
Ja tą całke policzyłem przez podstawienie, natomiast chciałem sprawdzić sobie wynik w aplikacji matematycznej i tam mi liczy tak że ten pierwiastek jest mnożony przez każdy wyraz w nawiasie. To jak w końcu?

hutsalo pisze: ↑5 wrz 2022, o 16:46 Ja tą całke policzyłem przez podstawienie,

Można.

hutsalo pisze: ↑5 wrz 2022, o 16:46 natomiast chciałem sprawdzić sobie wynik w aplikacji matematycznej i tam mi liczy tak że ten pierwiastek jest mnożony przez każdy wyraz w nawiasie.

Oczywiście, mnożenie jest rozdzielne względem dodawania nawet pod całką. Dostajemy łatwe do zgadnięcia całki \(\int x^{3/2} \;\mathrm{d}x\) i \(\int x^{1/2} \;\mathrm{d}x\). Potem oczywiście jakaś całka po \(y\).

hutsalo pisze: ↑5 wrz 2022, o 16:46 To jak w końcu?

A wychodzą różne wyniki?

To co uzyskałem do tej pory licząc to przez podstawienie:
\(\displaystyle{
\int_{0}^{1} \int_{0}^{y} \sqrt{x} \cdot t \cdot \frac{dt}{y}dtdy = \int_{0}^{1} \int_{2}^{\sqrt{2}} \frac{1}{y} \sqrt{x} \cdot t dt dy = \frac{2}{3} \int_{0}^{1} \frac{1}{y} \cdot x^{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{2} = \int_{0}^{1} y^{-1} \cdot x^{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{2}
}\)
Dotąd doszedłem bo nie jestem pewny czy to powinno tak być. Ta całka
\(\displaystyle{
\int_{2}^{\sqrt{2}}
}\)
czy ona powinna mieć takie granice. Bo jak licze
\(\displaystyle{
0y + 2 = 2
\\
yy + 2 = y^{2} + 2 = \sqrt{2} \vee \sqrt{-2}
}\)
Czy ta całka ma dobrze te granice policzone?

hutsalo pisze: ↑5 wrz 2022, o 17:57 To co uzyskałem do tej pory licząc to przez podstawienie:
\(\displaystyle{
\int_{0}^{1} \int_{0}^{y} \sqrt{x} \cdot t \cdot \frac{dt}{y}dtdy }\)

Po podstawieniu za \(x\) nadal masz \(x\) pod całką?

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\int_{0}^{y}\sqrt{x}(xy+2)dxdy }\)

\(\displaystyle{ I_{1} = \int_{0}^{y}\sqrt{x}(xy+2)dx = \int_{0}^{y} \left(x^{\frac{3}{2}}y +2x^{\frac{1}{2}}\right)dx = }\)

\(\displaystyle{ = \left[\frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1} y + \frac{2x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right] _{0}^{y} = }\)

\(\displaystyle{ = \left[ \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} y + \frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{y} = \frac{2}{5}y^{\frac{5}{2}} y + \frac{4}{3}y^{\frac{3}{2}}= \frac{2}{5}y^{\frac{7}{2}}+\frac{4}{3}y^{\frac{3}{2}}. }\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\int_{0}^{y}\sqrt{x}(xy+2)dxdy = \int_{0}^{1} I_{1} dy = \int_{0}^{1}\left(\frac{2}{5}y^{\frac{7}{2}}+\frac{4}{3}y^{\frac{3}{2}}\right)dy= \left[ \frac{2}{5}\cdot \frac{y^{\frac{9}{2}}}{\frac{9}{2}} + \frac{4}{3}\cdot \frac{y^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} \right]_{0}^{1} = }\)

\(\displaystyle{ = \left[\frac{4}{45} y^{\frac{9}{2}} + \frac{8}{15}y^{\frac{5}{2}}\right]_{0}^{1} = \frac{4}{45} + \frac{8}{15}= \frac{4}{45}+\frac{24}{45}=\frac{28}{45}.}\)

3a174ad9764fefcb pisze: ↑5 wrz 2022, o 18:29

hutsalo pisze: ↑5 wrz 2022, o 17:57 To co uzyskałem do tej pory licząc to przez podstawienie:
\(\displaystyle{
\int_{0}^{1} \int_{0}^{y} \sqrt{x} \cdot t \cdot \frac{dt}{y}dtdy }\)

Po podstawieniu za \(x\) nadal masz \(x\) pod całką?

Nie tylko ja stopniowo wszystko staram się wszystko rozpisywać.

Tak nie można. Jeśli podstawiłeś za niektóre \(x\), a za inne nie, to nagle zrobiło nam się wyrażenie z wolnym wystąpieniem zmiennej \(x\). Ta zmienna nie jest już związana z całką, bo całka wiąże zmienną \(t\). Nie jest też związana z żadnym kwantyfikatorem. Czyli wyrażenie, które nie zależało od \(x\) zmieniło nam się w wyrażenie zależne od \(x\).

W taki sposób można by poprzez podstawienie \(x=t\) udowodnić, że
\(\displaystyle{ \int x^{10}\;\mathrm{d}x = \int x^9 t\;\mathrm{d}t = \frac{x^9t^2}2 + C = \frac{x^{11}}2 + C }\)
Wiemy jednak, że
\(\displaystyle{ \int x^{10}\;\mathrm{d}x = \frac{x^{11}}{11} + C }\)

To są błędne zapis, bo

\(\displaystyle{ ... \frac{x^9 t^{2}}{2} + C \neq \frac{x^{11}}{2} + C }\)

To może użyję całek oznaczonych. Będzie to nawet lepiej pasowało do tematu. Podstawienie to nadal \(x=t\).

Źle:
\(\displaystyle{ \int_0^1 x^{10}\;\mathrm{d}x = \int_0^1 x^9 t\;\mathrm{d}t = \left[\frac{x^9t^2}2 \right]_{t=0}^1 = \frac{x^9}2}\)
Zostaliśmy z jakąś zmienną \(x\), z którą nie wiadomo co zrobić.

Dobrze:
\(\displaystyle{ \int_0^1 x^{10}\;\mathrm{d}x = \left[\frac{x^{11}}{11} \right]_{t=0}^1 = \frac1{11} }\)