Matematyka.pl

Witam, przygotowuje się do kolokwium i natrafiłam na parę etapów w liczeniu całek których nie potrafię zrozumieć. Chciałabym prosić o wytłumaczenie jeśli ktoś zna odpowiedź.
a)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{2x+3}{(x+1)^2} dx }\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{2x+1+1} {(x+1)^2}}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{2} {x+1} \frac{1}{(x+1)^2} }\) ---> nie rozumiem skąd się to wzięło ? czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć ?

b)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x^2}{(1+x^2)} dx}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} 1- \frac{1}{(x^2+1)} }\) ----> tutaj ten sam problem, nie rozumiem skąd ?

c)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x-3}{x^3+3x} dx }\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{-1}{x} + \frac{x+1}{x^2+3} }\) --> tutaj wiem, że \(\displaystyle{ (x^3 +3x) = x(x^2+3)}\) ale to co się potem z tym dzieje tzn. te rozdzielenie tego nie rozumiem...

Będę wdzięczna za wytłumaczenie tych etapów w których nie potrafię zgadnąć co się wydarzyło

Klaudiuska88 pisze: ↑14 sty 2023, o 23:37 \(\displaystyle{ \int_{}^{} 1- \frac{1}{(x^2+1)} }\) ----> tutaj ten sam problem, nie rozumiem skąd ?

Bo A całkę z \(\displaystyle{ \frac{1}{1+x^2}}\) już się łatwo liczy. Ogólnie to wielomiany został tu podzielony.

Klaudiuska88 pisze: ↑14 sty 2023, o 23:37 (c) ale to co się potem z tym dzieje tzn. te rozdzielenie tego nie rozumiem...

Ułamki proste.

Klaudiuska88 pisze: ↑14 sty 2023, o 23:37 a)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{2x+3}{(x+1)^2} dx }\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{2x+1+1} {(x+1)^2}}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{2} {x+1} \frac{1}{(x+1)^2} }\) ---> nie rozumiem skąd się to wzięło ? czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć ?

Źle przepisałaś. Powinno być

\(\displaystyle{ \frac{2x+3}{(x+1)^2}=\frac{2(x+1)+1}{(x+1)^2}=\frac{2(x+1)}{(x+1)^2}+\frac{1}{(x+1)^2}=\frac{2}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^2}.}\)

Klaudiuska88 pisze: ↑14 sty 2023, o 23:37 b)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x^2}{(1+x^2)} dx}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} 1- \frac{1}{(x^2+1)} }\) ----> tutaj ten sam problem, nie rozumiem skąd ?

Podobnie:

\(\displaystyle{ \frac{x^2}{(1+x^2)}=\frac{x^2+1-1}{(1+x^2)}=\frac{x^2+1}{(1+x^2)}-\frac{1}{(1+x^2)}=1- \frac{1}{(x^2+1)}.}\)

Klaudiuska88 pisze: ↑14 sty 2023, o 23:37 c)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x-3}{x^3+3x} dx }\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{-1}{x} + \frac{x+1}{x^2+3} }\) --> tutaj wiem, że \(\displaystyle{ (x^3 +3x) = x(x^2+3)}\) ale to co się potem z tym dzieje tzn. te rozdzielenie tego nie rozumiem...

Potem rozkładasz na ułamki proste:

\(\displaystyle{ \frac{x-3}{x^3+3x}=\frac{x-3}{x(x^2+3)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+3}.}\)

Po sprowadzeniu prawej strony do wspólnego mianownika dostajesz

\(\displaystyle{ \frac{x-3}{x^3+3x}=\frac{A(x^2+3)+x(Bx+C)}{x^3+3x}=\frac{x^2(A+B)+Cx+3A}{x^3+3x},}\)

skąd

\(\displaystyle{ x-3= x^2(A+B)+Cx+3A,}\)

czyli, na mocy tego, że równość wielomianów odpowiada równości ich odpowiednich współczynników, mamy

\(\displaystyle{ \begin{cases} A+B=0 \\ C=1\\3A=-3, \end{cases} }\)

czyli \(\displaystyle{ A=-1, B=1, C=1.}\)

Podstawiając do \(\displaystyle{ \frac{x-3}{x^3+3x}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+3}}\) otrzymujesz \(\displaystyle{ \frac{x-3}{x^3+3x}=\frac{-1}{x}+\frac{x+1}{x^2+3}.}\)

JK