Cześć,
Rozwiązując zadania oparte na wyznaczaniu objętości zatrzymałem się na poniższym zadaniu:
Narysować i obliczyć objętości obszarów U ograniczonych powierzchniami:
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=2, y=1 (y\geq 1)
}\)
Wiem, że jest to objętość części kuli ograniczonej na OYZ: \(\displaystyle{ 1\leq y \leq \sqrt{2}}\) i na OXZ okręgiem o promieniu r = 1
Czy można obliczyć to ze współrzędnych walcowych?
Z moich prób wyszło mi:
\(\displaystyle{ z=\sqrt{2-r^2}}\) oraz \(\displaystyle{ z=-\sqrt{2-r^2}}\)
Promień \(\displaystyle{ 0 \leq r \leq \sqrt{2}}\) czy \(\displaystyle{ 1 \leq r \leq \sqrt{2}}\) ?
Dalej nie jestem w stanie ogarnąć.
Czy wszystkie objętości ograniczone powierzchniami można obliczać za pomocą współrzędnych walcowych?
Odpowiedź do zadania to \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3} (4\sqrt{2} - 5) }\)
Pozdrawiam
Objętość obszaru ograniczonego powierzchniami
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Objętość obszaru ograniczonego powierzchniami
Liczyłbym tak:
\(\displaystyle{ V= \int_{0}^{2 \pi } \left( \int_{0}^{1} ( \sqrt{2-r^2}-1)r \dd r \right) \dd \alpha }\)
Czy wszystkie objętości ograniczone powierzchniami można obliczać za pomocą współrzędnych walcowych?
Teoretycznie tak, lecz czasem jest to kłopotliwe (choćby objętość sześcianu).
\(\displaystyle{ V= \int_{0}^{2 \pi } \left( \int_{0}^{1} ( \sqrt{2-r^2}-1)r \dd r \right) \dd \alpha }\)
Czy wszystkie objętości ograniczone powierzchniami można obliczać za pomocą współrzędnych walcowych?
Teoretycznie tak, lecz czasem jest to kłopotliwe (choćby objętość sześcianu).
Re: Objętość obszaru ograniczonego powierzchniami
Super, już się rozjaśniło. Czy mógłbym prosić jeszcze o rozpisanie całki iterowanej? Chodzi mi o przejście ze wsp. kartezjańskich do walcowych.
Jak ogarniać, z których rzutów brać odpowiadające promień, kąt fi oraz ograniczenie wysokości?
Jak ogarniać, z których rzutów brać odpowiadające promień, kąt fi oraz ograniczenie wysokości?
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Objętość obszaru ograniczonego powierzchniami
To nie są współrzędne walcowe tylko biegunowe. Całkuje się po kółku na którym leży ta bryła
Dodano po 8 minutach 58 sekundach:
A raczej po jego rzucie na plaszczyzne OXZ
Dodano po 8 minutach 58 sekundach:
A raczej po jego rzucie na plaszczyzne OXZ