Matematyka.pl

Mam znaleźć objętość bryły ograniczonej powierzchniami;
\(\displaystyle{ z ^{2}=x\cdot y, x+y=4, x+y=6 }\)
Próbowałam uzależnić zmienne w ten sposób: \(\displaystyle{ x+y=u}\), brakowało mi jednak drugiego równania, żeby uzależnić od zmiennej \(\displaystyle{ v}\). Próbowałam podnościć do kwadratu aby ewentualnie wyznaczyć jakoś współrzędne okręgu. Także starałam się po prostu ograniczyć prostymi \(\displaystyle{ 6-x}\) oraz \(\displaystyle{ 4-x}\). Wszystkie moje metody jednak okazały się nie skuteczne. Dziękuję za wszystkie odpowiedzi

Bryła ograniczona jest z dołu i z góry powierzchnią stożkową \(\displaystyle{ z^2 = xy, }\) z boku - równoległymi płaszczyznami: \(\displaystyle{ x+y = 4, \ \ x+y = 6. }\).

Rzuty na płaszczyznę \(\displaystyle{ Oxy }\) są symetrycznie położonymi trapezami względem płaszczyzny \(\displaystyle{ Oxy }\).

Całkujemy po jednym - położonym w pierwszym oktancie prostokątnego układu współrzędnych \(\displaystyle{ Oxyz.}\)

\(\displaystyle{ |V| = 2\iint_{\mathcal{T}} \sqrt{x\cdot y} dx dy, \ \ \mathcal{T} = \{ (x,y): \ \ x+y = 4, \ \ x+y = 6, x=0,\ \ y=0 \} }\)

\(\displaystyle{ |V| = 2 \left[\int_{0}^{4} dx \int_{4-x}^{6-x} \sqrt{xy} dy + \int_{4}^{6}dx\int_{0}^{6-x}\sqrt{xy}dy \right] = \frac{4}{3}\left[\int_{0}^{4}\sqrt{x(6-x)^3} - \sqrt{x(4-x)^3}\right ]dx + \frac{4}{3}\int_{4}^{6} \sqrt{x(6-x)^3}dx = }\)
\(\displaystyle{ = \frac{4}{3}\int_{0}^{6}(6-x)\sqrt{x(6-x)}dx - \frac{4}{3}\int_{0}^{4}(4-x)\sqrt{x(4-x)}dx = c_{1} - c_{2}.}\)

\(\displaystyle{ c_{1} = \frac{4}{3}\int_{0}^{6} (6-x)\sqrt{x(-x)}dx = \left[ x = 6\sin^2(t), \ \ dx = 12\sin(t)\cos(t)dt \right] = 2\cdot 6^3\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^4(t)\cdot \sin^2(t)dt = 2\cdot 6^3\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^4(t)[ 1-\cos^2(t)dt = }\)
\(\displaystyle{ =2\cdot 6^3\left[\int_{0}^{\pi}{2} \cos^4(t)dt - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^6(t)dt\right] = 2\cdot 6^3\left(\frac{3\cdot 1}{4\cdot 2}- \frac{5\cdot 3 \cdot 1}{6\cdot 4\cdot2}\right)\cdot \frac{\pi}{2} = \frac{1}{16}\pi\cdot 6^3.}\) (skorzystaliśmy ze wzoru na całkę z funkcji \(\displaystyle{ \cos^{n}(x)}\)).

Całkę \(\displaystyle{ c_{2} }\) obliczamy identycznie, podstawiając \(\displaystyle{ x = 4\sin^2(t), \ \ dx = 8\sin(t)\cos(t) dt }\) (zastępujemy szóstkę czwórką)

\(\displaystyle{ c_{2} = \frac{4}{3} \int_{0}^{4} (4-x)\sqrt{x(4-x)} dx = \frac{1}{16} \pi \cdot 4^3 }\)

Stąd

\(\displaystyle{ |V| = \frac{4}{3}\left[ \frac{\pi\cdot 6^3}{16} - \frac{\pi \cdot 4^3}{16}\right] = \frac{4}{3}\cdot \frac{(216-64)\cdot \pi}{16}= \frac{4}{3}\cdot \frac{152\cdot \pi}{16} = \frac{152\pi}{12} = \frac{76\pi}{6} = \frac{38}{3}\pi.}\)

Dodano po 5 godzinach 43 minutach 37 sekundach:

Korekta.
\(\displaystyle{ |V| = 2 \left[\int_{0}^{4} dx \int_{4-x}^{6-x} \sqrt{xy} dy + \int_{4}^{6}dx\int_{0}^{6-x}\sqrt{xy}dy \right] = \frac{4}{3}\left[\int_{0}^{4}\sqrt{x(6-x)^3} - \sqrt{x(4-x)^3}\right ]dx + \frac{4}{3}\int_{4}^{6} \sqrt{x(6-x)^3}dx = }\)
\(\displaystyle{ = \frac{4}{3}\left [\int_{0}^{6}(6-x)\sqrt{x(6-x)}dx - \frac{4}{3}\int_{0}^{4}(4-x)\sqrt{x(4-x)}dx\right] =\frac{4}{3}\left[ c_{1} - c_{2}\right].}\)


\(\displaystyle{ c_{1} = \int_{0}^{6} (6-x)\sqrt{x(-x)}dx = \left[ x = 6\sin^2(t), \ \ dx = 12\sin(t)\cos(t)dt \right] = 2\cdot 6^3\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^4(t)\cdot \sin^2(t)dt = 2\cdot 6^3\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^4(t)[ 1-\cos^2(t)dt = }\)
\(\displaystyle{ =2\cdot 6^3\left[\int_{0}^{\pi}{2} \cos^4(t)dt - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^6(t)dt\right] = 2\cdot 6^3\left(\frac{3\cdot 1}{4\cdot 2}- \frac{5\cdot 3 \cdot 1}{6\cdot 4\cdot2}\right)\cdot \frac{\pi}{2} = \frac{1}{16}\pi\cdot 6^3.}\) (skorzystaliśmy ze wzoru na całkę z funkcji \(\displaystyle{ \cos^{n}(x)}\)).

\(\displaystyle{ c_{2} = \int_{0}^{4} (4-x)\sqrt{x(4-x)} dx = \frac{1}{16} \pi \cdot 4^3 }\)

Stąd

\(\displaystyle{ |V| = \frac{4}{3}\left[ \frac{\pi\cdot 6^3}{16} - \frac{\pi \cdot 4^3}{16}\right] = \frac{4}{3}\cdot \frac{(216-64)\cdot \pi}{16}= \frac{4}{3}\cdot \frac{152\cdot \pi}{16} = \frac{152\pi}{12} = \frac{76\pi}{6} = \frac{38}{3}\pi.}\)