O obliczaniu objętości między powierzchniami

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

O obliczaniu objętości między powierzchniami

Post autor: janusz47 »

Niedawno na forum pojawiło się zadanie:

Proszę obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:

\(\displaystyle{ z = -\sqrt{2x^2 +2y^2}, \ \ z = -\sqrt{6-x^2-y^2} \ \ (1)}\)

Najpierw musimy rozpoznać jakie powierzchnie przedstawiają równania \(\displaystyle{ (1).}\)

Pierwsza z nich to powierzchnia stożka. Znak minus wskazuje, że położona poniżej płaszczyzny \(\displaystyle{ z = 0 }\) prostokątnego układu współrzędnych \(\displaystyle{ Oxyz.}\)

Drugą powierzchnią jest półsfera - znak minus wskazuje, że położona jest też poniżej płaszczyzny \(\displaystyle{ z = 0. }\)

Obliczenie objętości między powierzchniami w układzie cylindrycznym (walcowym)

Jeśli w przestrzeni \(\displaystyle{ Oxyz }\) wprowadzimy współrzędne cylindryczne \(\displaystyle{ (r, \phi, z) }\), to mamy następujące wzory:

\(\displaystyle{ x = r\cos(\phi), \ \ y = r\sin(\phi), \ \ z = z, \ \ x^2 + y^2 = r^2.}\)

Jeśli w przestrzeni \(\displaystyle{ Oxyz }\) są dane: obszar regularny domknięty \(\displaystyle{ (V) }\) (to znaczy taki, którego brzeg składa się ze skończonej ilości krzywych danych jawnie) i funkcja \(\displaystyle{ f }\) ciągła w tym obszarze, to zachodzi równość:

\(\displaystyle{ \iiint_{(V)} f(P) dV = \iiint_{(\Omega)} f(P)rdrd \phi dz,}\)

w której \(\displaystyle{ f(P) }\) po prawej stronie jest wartością funkcji \(\displaystyle{ f }\) w punkcie \(\displaystyle{ P }\), wyrażoną przez współrzędne cylindryczne. \(\displaystyle{ (\Omega) }\) oznacza zakres zmienności współrzędnych cylindrycznych odpowiadający obszarowi \(\displaystyle{ (V).}\)

Wyrażenie \(\displaystyle{ dV = rdr d\phi dz }\) nazywamy różniczką objętości w układzie cylindrycznym.

Dowód twierdzenia wynika z wprowadzenia w przestrzeni \(\displaystyle{ Oxyz }\) elementów podziału w układzie cylindrycznym i przyjęcia za argumenty \(\displaystyle{ P_{j} }\) punktów o współrzędnej radialnej \(\displaystyle{ r_{j} \ \ (*)}\)

Z twierdzenia tego wynika, że aby obliczyć całkę

\(\displaystyle{ \iiint_{(V)} f(P) dV, }\) powinniśmy


\(\displaystyle{ 1^{o} }\) korzystając ze wzorów przejścia - wyrażić funkcję podcałkową \(\displaystyle{ f(P) }\) przez współrzędne cylindryczne punktu \(\displaystyle{ P,}\)

\(\displaystyle{ f(P) = f(x,y,z) = -\sqrt{2x^2 +2y^2}) - ( -\sqrt{6-x^2 -y^2}) = -\sqrt{2(x^2+y^2)} + \sqrt{6-(x^2+y^2)} = -\sqrt{2r^2} + \sqrt{6- r^2},}\)

\(\displaystyle{ 2^{o}}\) zastępić różniczkę objętości \(\displaystyle{ dV = dx dy dz }\) wyrażeniem \(\displaystyle{ r dr d\phi dz, }\)

\(\displaystyle{ 3^{o} }\) zastąpić obszar całkowania \(\displaystyle{ (V) }\) odpowiednim zakresem \(\displaystyle{ (\Omega) }\) zmienności współrzędnych cylindrycznych:

W tym celu znajdujemy części wspólne powierzchni:

\(\displaystyle{ - \sqrt{2r^2} = -\sqrt{6-r^2} }\)

\(\displaystyle{ 2r^2 = 6 - r^2, \ \ 3r^2 = 6, \ \ r^2 = 2, \ \ r = \pm \sqrt{2}.}\)

\(\displaystyle{ (\Omega) = \{ P=(r, \phi, z): 0\leq r \leq \sqrt{2}, \ \ 0 \leq \phi \leq 2 \pi, \ \ \sqrt{2r^2} \leq z \leq \sqrt{6-r^2}\} }\)

\(\displaystyle{ 4^{o} }\) całkę potrójną zastąpić całką iterowaną tak ustawioną, aby całkowanie w granicach zależnych od zmiennej było wykonane przed całkowaniem względem tej zmiennej:

\(\displaystyle{ |V| = \iiint_{(V)} f(P)dV = \iiint_{(\Omega)} f(P) r dr d\phi dz = \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{\sqrt{2}} rdr \int_{\sqrt{2r^2}}^{\sqrt{6-r^2}} dz \ \ = I_{3}I_{2}I_{1}}\)

\(\displaystyle{ I_{1} = \int_{0}^{\sqrt{2}} rdr \int_{\sqrt{2r^2}}^{\sqrt{6-r^2}} dz = \left [z \right ]_{\sqrt{2r^2}}^{\sqrt{6 -r^2}} = \sqrt{6-r^2}- \sqrt{2r^2} = \sqrt{6- r^2} - r\sqrt{2}. }\)

\(\displaystyle{ I_{2} = \int_{0}^{\sqrt{2}} (r\sqrt{6-r^2} - r^2\sqrt{2}) dr = \int_{0}^{\sqrt{2}} r\sqrt{6-r^2}dr - \int_{0}^{\sqrt{2}} r^2\sqrt{2}dr = I_{2,1} - I_{2,2} }\)

\(\displaystyle{ I_{2,1} = \int_{0}^{\sqrt{2}} r\sqrt{6-r^2}dr = [\sqrt{6 -r^2} = t , \ \ 6-r^2 = t^2, \ \ -2rdr = 2tdt \ \ rdr = -tdt] = }\)

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline r & 0 & \sqrt{2} \\ \hline
t & \sqrt{6} & 2 \\ \hline \end{tabular} }\)


\(\displaystyle{ = \int_{\sqrt{6}}^{2} -t^2 dt = \int_{2}^{\sqrt{6}} t^2 dt = \left[\frac{1}{3} t^3 \right ]_{2}^{\sqrt{6}} = \left[ \frac{6}{3}\sqrt{6} - \frac{8}{3}\right]. }\)

\(\displaystyle{ I_{2,2} = \int_{0}^{\sqrt{2}} r^2\sqrt{2}dr = \sqrt{2} \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{2}{3}\sqrt{2} = \frac{4}{3}.}\)

\(\displaystyle{ I_{2} = \frac{6}{3}\sqrt{6} - \frac{8}{3} - \frac{4}{3} = 2\sqrt{6} - \frac{12}{3} = 2\sqrt{6} - 4 . }\)

\(\displaystyle{ |V| = I_{3} = \int_{0}^{2\pi} (2\sqrt{6} - 4) d\phi = (2\sqrt{6} - 4) \left[\phi \right]_{0}^{2\pi} = (2\sqrt{6} - 4)\cdot ( 2\pi - 0) = 2\pi(2\sqrt{6} - 4) = 4\pi(\sqrt{6}-2).}\)


Obliczenie objętości między powierzchniami w układzie sferycznym

Jeżeli w przestrzeni \(\displaystyle{ Oxyz }\) wprowadzimy współrzędne sferyczne \(\displaystyle{ (R, \theta, \phi),}\) to mamy mamy następujące wzory przejścia:

\(\displaystyle{ x = R\sin(\theta)\cos(\phi), \ \ y = R\sin(\theta)\sin(\phi), \ \ z = R\cos(\theta), }\)

\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2 = R^2, \ \ \frac{z}{R} = \sin(\theta).}\)

Jeśli w przestrzeni \(\displaystyle{ Oxyz }\) są dane: obszar regularny domknięty \(\displaystyle{ (V) }\) i funkcja \(\displaystyle{ f }\) ciągła w tym obszarze, to zachodzi równość:

\(\displaystyle{ \iiint_{(V)} f(P) dV = \iiint_{(\Omega)} f(P)R^2\sin(\theta) d\theta d\phi dR,}\)

w której \(\displaystyle{ f(P) }\) po prawej stronie jest wartością funkcji \(\displaystyle{ f }\) w punkcie \(\displaystyle{ P }\), wyrażoną przez współrzędne sferyczne. \(\displaystyle{ (\Omega) }\) oznacza zakres zmienności współrzędnych sferycznych odpowiadający obszarowi \(\displaystyle{ (V).}\)

Wyrażenie \(\displaystyle{ dV = R^2\sin(\theta) d\theta d\phi dR }\) nazywamy różniczką objętości w układzie sferycznym.

Dowód twierdzenia wynika z opisu elementu objętości \(\displaystyle{ dV }\) w układzie sferycznym i przejściu w granicy do zera \(\displaystyle{ (*).}\)

Aby obliczyć całkę \(\displaystyle{ \iiint_{(V)} f(P) dV }\) we współrzędnych sferycznych powinniśmy

\(\displaystyle{ 1^{o}}\) korzystając ze wzorów przejścia wyrażić funkcję podcałkową \(\displaystyle{ f(P) }\) przez współrzędne sferyczne punktu \(\displaystyle{ P,}\)

\(\displaystyle{ x^2 + y^2 = R^2\sin^2(\theta)\cos^2(\theta) + R^2 \sin^2(\theta)\cos^2(\theta) = R^2\sin^2(\theta)(\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)) = R^2\sin^2(\theta).}\)

\(\displaystyle{ f(P) = f(R,\theta, \phi) = \sqrt{6 -R^2 \sin^2(\theta)} - \sqrt{2R^2\sin^2(\theta)} =\sqrt{6 -R^2\sin^2(\theta)} - \sqrt{2} R\sin(\theta).}\)

\(\displaystyle{ 2^{o} }\) zastepić obszar \(\displaystyle{ (V) }\) odpowiednim zakresem zmienności współrzędnych sferycznych.

W tym celu znajdujemy część wspólne powierzchni:

\(\displaystyle{ \sqrt{6 -R^2 \sin^2(\theta)}= \sqrt{2R^2\sin^2(\theta)} , \ \ 6 -R^2 \sin^2(\theta) = 2R^2\sin^2(\theta), \ \ R^2\sin^2(\theta) = 2, \ \ R\sin(\theta) = \pm \sqrt{2}, }\)

\(\displaystyle{ \sin(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{12}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}.}\)

\(\displaystyle{ (\Omega) = \{ P = (R, \theta, \phi): 0\leq R \leq \sqrt{6}, \ \ 0 \leq \theta \leq \arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) , \ \ 0\leq \phi \leq 2\pi\}}\)

\(\displaystyle{ 4^{o} }\) całkę potrójną zastępić całką iterowaną tak ustawioną, aby całkowanie w granicach zależnych od zmiennej było wykonane przed całkowaniem względem tej zmiennej:

\(\displaystyle{ |V| = \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}\sin(\theta)d\theta \int_{0}^{\sqrt{6}} R^2 dR = I_{3}I_{2}I_{1} }\)

\(\displaystyle{ I_{1} = \int_{0}^{\sqrt{6}} R^2 dR = \left[ \frac{1}{3}R^3\right]_{0}^{\sqrt{6}} = \frac{6\sqrt{6}}{3} - \frac{0^3}{3} = 2\sqrt{6},}\)

\(\displaystyle{ I_{2} = 2\sqrt{6} \int_{0}^{\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}\sin(\theta)d\theta = 2\sqrt{6}\cdot \left [-\cos(\theta)\right]_{0}^{\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)} = 2\sqrt{6} \cdot \left[ -\cos(\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) +\cos(0)\right]}\)

Uproszczenie \(\displaystyle{ \cos(\arcsin(X)):}\)

Przyjmijmy \(\displaystyle{ arc(\sin(X)) = u.}\)

Stąd \(\displaystyle{ X = \sin(u) }\)

Wobec czego \(\displaystyle{ \cos(arc(\sin(X)) = \cos(u), }\) a ponieważ \(\displaystyle{ \sin^2(u) +\cos^2(u) = 1,}\) więc uwzględniając przyjęte oznaczenie mamy stąd \(\displaystyle{ X^2 + \cos^2(u) =1 \leftrightarrow \cos^2(u) = 1- X^2 \leftrightarrow \cos(u) = \sqrt{1-X^2} \vee \cos(u)= -\sqrt{1-X^2}.}\)

Z tych dwóch zdań tylko jedno jest prawdziwe, bo \(\displaystyle{ \cos(arc\sin(X)) }\) jako superpozycja funkcji wzajemnie jednoznacznych jest funkcją, a zatem dla wybranego argumentu \(\displaystyle{ X \in \langle -1, 1\rangle }\) istnieje tylko jedna wartość tej funkcji. Aby wybrać prawdziwe zdanie zauważmy, że \(\displaystyle{ arc(\sin(X))\in \langle -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\rangle, }\) a dla argumentów z takiego przedziału kosinus przyjmuje wartości dodatnie.

Jest zatem \(\displaystyle{ \cos(\arcsin(X)) = \sqrt{1-X^2}.}\)

Wykorzystując tę równość w całce otrzymujemy

\(\displaystyle{ I_{2} = 2\sqrt{6}\cdot \left(-\sqrt{1 -\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} + 1\right) = 2\sqrt{6}\cdot \left( 1 - \sqrt{\frac{6}{9}}\right) = 2\sqrt{6}\cdot \left(1 - \frac{\sqrt{6}}{3}\right) = 2\sqrt{6}- 4.}\)

\(\displaystyle{ |V| = I_{3} = (2\sqrt{6}- 4)\int_{0}^{2\pi}d\phi = (2\sqrt{6}- 4)\left[ \phi \right]_{0}^{2\pi} = 2\pi \cdot (2\sqrt{6}-4) - 0\cdot (2\sqrt{6}-4)= 2\pi (2\sqrt{6}-4) = 4\pi(\sqrt{6}-2).}\)

Można było w obliczeniach objętości w układzie walcowym i sferycznym wykorzystać symetrię obszaru względem osi \(\displaystyle{ Oz}\) - zmniejszając obszary całkowania i mnożąc całki przez \(\displaystyle{ 2.}\)

\(\displaystyle{ (*)}\) na przykład Roman Leitner zarys matematyki dla studiów technicznych. Część II. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne. Warszawa 1990.
Załączniki
Wykres.jpg''.jpg
ODPOWIEDZ