Matematyka.pl

proszę o pomoc z wyjaśnieniem tego dowodu. Jest on krótszy, ale wcale nie łatwiejszy. No bo to tak właściwie, intuicyjnie jest ten potencjał??

Warunek konieczny istnienia potencjału. Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie polem potencjalnym klasy \(\displaystyle{ C^{1}}\) określonym na otwartym podzbiorze \(\displaystyle{ U \subset \RR ^{k}}\). Jeżeli V jest polem potencjalnym na \(\displaystyle{ U}\), to dla dowolnym \(\displaystyle{ i,j \in {1,...,k}}\) zachodzi
\(\displaystyle{ (V_{i})'_{j}=(V_{j})'_{i}}\)
W sensie że co, że potencjał to jest po prostu taka funkcja, która jest gradientem innej funkcji? I potencjał ma być z \(\displaystyle{ \RR ^{k} w \RR ^{k}}\)? tylko o to w tym chodzi? I pytanie co to są za znaczki, przecież to wygląda jak pochodna drugiego rzędu, a to jest tylko pochodna pierwszego.

Dowód:
Ponieważ \(\displaystyle{ V}\) jest polem potencjalnym klasy \(\displaystyle{ C^{1}}\) na \(\displaystyle{ U}\), więc istnieje taka funkcja \(\displaystyle{ f: U \rightarrow \RR}\) (na pewno tu powinno być samo \(\displaystyle{ \RR}\) a nie \(\displaystyle{ \RR^{k}}\) ?) klasy \(\displaystyle{ C^{2}}\) taka że \(\displaystyle{ \nabla f= V}\) na \(\displaystyle{ U}\). Zatem \(\displaystyle{ f'_{xi}=V_{i}}\) na \(\displaystyle{ U}\). Z tw schwarza mamy że \(\displaystyle{ f''_{xixj}=f''_{xjxi}}\) na \(\displaystyle{ U}\) dla \(\displaystyle{ i \neq j}\), \(\displaystyle{ i,j\in {1,...,k}}\).
Zatem \(\displaystyle{ (V_{i})'_{xj}=(f'_{xi})'_{xj}=f''_{xixj}=f''_{xjxi}=(f'_{xj})'_{xi}=(V_{j})'_{xi}}\) na \(\displaystyle{ U}\).

No dowód jest prosty, ale nie rozumiem początku. Czym jest potencjał?

Niepokonana pisze: ↑9 wrz 2023, o 02:55 No bo to tak właściwie, intuicyjnie jest ten potencjał??

W sensie że co, że potencjał to jest po prostu taka funkcja, która jest gradientem innej funkcji? I potencjał ma być z \(\displaystyle{ \RR ^{k} w \RR ^{k}}\)?

Wyczytałem, że funkcję \(\displaystyle{ V}\) nazywamy polem potencjalnym, gdy istnieje funkcja skalarna \(\displaystyle{ f}\) taka, że \(\displaystyle{ V}\) jest gradientem \(\displaystyle{ f}\). Wtedy funkcję \(\displaystyle{ f}\) nazywa się potencjałem pola \(\displaystyle{ V}\). Zatem potencjał i pole potencjalne to nie jest to samo.

Potencjał jest z \(\displaystyle{ \RR ^{k}}\) w \(\displaystyle{ \RR}\), a pole potencjalne jest z \(\displaystyle{ \RR^k}\) w \(\displaystyle{ \RR^k}\).

Warunek konieczny istnienia potencjału. Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie polem potencjalnym klasy \(\displaystyle{ C^{1}}\) określonym na otwartym podzbiorze \(\displaystyle{ U \subset \RR ^{k}}\). Jeżeli V jest polem potencjalnym na \(\displaystyle{ U}\), to dla dowolnym \(\displaystyle{ i,j \in {1,...,k}}\) zachodzi
\(\displaystyle{ (V_{i})'_{j}=(V_{j})'_{i}}\)

tylko o to w tym chodzi? I pytanie co to są za znaczki, przecież to wygląda jak pochodna drugiego rzędu, a to jest tylko pochodna pierwszego.

Masz niejednolite oznaczenia. We wzorze
\(\displaystyle{ (V_{i})'_{j}=(V_{j})'_{i}}\)
\(\displaystyle{ (V_{i})'_{j}}\) oznacza pochodną cząstkową po \(\displaystyle{ j}\)-tej zmiennej z funkcji \(\displaystyle{ V_i}\) (która jest funkcją skalarną).

Dowód:
Ponieważ \(\displaystyle{ V}\) jest polem potencjalnym klasy \(\displaystyle{ C^{1}}\) na \(\displaystyle{ U}\), więc istnieje taka funkcja \(\displaystyle{ f: U \rightarrow \RR}\) (na pewno tu powinno być samo \(\displaystyle{ \RR}\) a nie \(\displaystyle{ \RR^{k}}\) ?) klasy \(\displaystyle{ C^{2}}\) taka że \(\displaystyle{ \nabla f= V}\) na \(\displaystyle{ U}\). Zatem \(\displaystyle{ f'_{xi}=V_{i}}\) na \(\displaystyle{ U}\). Z tw schwarza mamy że \(\displaystyle{ f''_{xixj}=f''_{xjxi}}\) na \(\displaystyle{ U}\) dla \(\displaystyle{ i \neq j}\), \(\displaystyle{ i,j\in {1,...,k}}\).
Zatem \(\displaystyle{ (V_{i})'_{xj}=(f'_{xi})'_{xj}=f''_{xixj}=f''_{xjxi}=(f'_{xj})'_{xi}=(V_{j})'_{xi}}\) na \(\displaystyle{ U}\).

Tutaj z kolei ta sama pochodna cząstkowa jest oznaczona \(\displaystyle{ (V_{i})'_{xj}}\).

To wszystko ma bardzo fajną interpretację fizyczną, tylko pytanie czy pamiętasz coś na temat energii potencjalnej.

Masz rację matma źle to napisałam, myślałam, że to jedno i to samo, a indeks bez iksa oznacza ity kawałek funkcji. Teraz to ma sens. Czyli \(\displaystyle{ V}\) jest w \(\displaystyle{ \RR^{k}}\) i f jest w \(\displaystyle{ \RR}\)? I dlatego \(\displaystyle{ V_{i}}\) to ity obiekt w przeciwobrazie \(\displaystyle{ V}\)? Dobrze rozumiem?

W sensie co na temat energii potencjalnej? 1. jest ujemna. 2. zmniejsza się wraz ze wzrostem odległości między rozważanymi obiektami. Chyba że chodzi o energię w polu elektromagnetycznym. Coś tam kojarzę, ale lepiej mi przypomnij.

Niepokonana pisze: ↑9 wrz 2023, o 14:12 Masz rację matma źle to napisałam, myślałam, że to jedno i to samo, a indeks bez iksa oznacza ity kawałek funkcji. Teraz to ma sens. Czyli \(\displaystyle{ V}\) jest w \(\displaystyle{ \RR^{k}}\) i f jest w \(\displaystyle{ \RR}\)? I dlatego \(\displaystyle{ V_{i}}\) to ity obiekt w przeciwobrazie \(\displaystyle{ V}\)? Dobrze rozumiem?

Nie wiem, czym dla Ciebie jest ity kawałek funkcji albo ity obiekt w przeciwobrazie. \(\displaystyle{ V_{i}}\) to jest \(\displaystyle{ i}\)-ta współrzędna funkcji \(\displaystyle{ V}\) tzn. \(\displaystyle{ V=(V_1,\ldots, V_k)}\).

Czyli jak mam \(\displaystyle{ V(x,y,z)=(2x+z, 3y, 5z^{2}+x^{3}),}\) to dla \(\displaystyle{ i=1}\) mam \(\displaystyle{ V_{1}=2x+z}\)? O to chodzi?

Tak. Dokładnie to \(\displaystyle{ V_{1}(x,y,z)=2x+z}\).

Aa ok to dzięki to rozumiem mniej więcej co to jest to \(\displaystyle{ V}\)