Matematyka.pl

ok no to kontynuujemy męczarnię. Oprócz tego zostały 2 długie dowody i dwa krótkie, przy czym te krótkie są ze sobą zespolone. Teraz chcemy udowodnić, że całki iterowane, które istnieją, co wykazałam w poprzednim wątku, są równe całce podwójnej czyli sobie nawzajem. Tamto było względnie krótkie teraz kolejna powieść. Nadal tylko prostokąty w\(\displaystyle{ \RR ^{2}}\).

\(\displaystyle{ a,b,c,d \in \RR}\), \(\displaystyle{ P=[a,b] \times [c,d]}\) i \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła na \(\displaystyle{ P}\). Chcemy udowodnić (1)
\(\displaystyle{ \int_{P} \int f(x,y)dxdy= \int_{a}^{b} [\int_{c}^{d} f(x,y)dy]dx}\).

Dowód:
Ponieważ f jest ciągła na P, to jest całkowalna na P, to z twierdzenia innego, wynika że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } S(f,\Pi _{n}, T_{n})= \int_{P} \int f(x,y)dxdy}\) (2)
gdzie \(\displaystyle{ (\Pi _{n})_{n\in\NN }}\) jest dowolnym ciągiem podziałów normalnych prostokąta \(\displaystyle{ P}\), a \(\displaystyle{ (T_{n})}\) jest ciągiem wartościowań takim, że \(\displaystyle{ T_{n}\in W( \Pi _{n})}\). W sensie po prostu \(\displaystyle{ T_{n}}\) jest określone na \(\displaystyle{ \Pi_{n}}\), dobrze rozumuję?

Pokażemy, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } S(f, \Pi '_{n}, T'_{n})= \int_{a}^{b} [\int_{c}^{d} dy]dx}\)
gdzie \(\displaystyle{ \Pi '_{n}={P^{n}_{ij}: i,j=1,...,k}}\) podział równomierny
\(\displaystyle{ P^{n}_{ij}=[a^{n}_{i},b^{n}_{i}] \times [c^{n}_{j}, d^{n}_{j}]}\) \(\displaystyle{ i,j=1,..,n}\)
\(\displaystyle{ a^{n}_{i}= a+ \frac{i-1}{n} (b-a)}\) \(\displaystyle{ b^{n}_{i}=a^{n}_{i}+ \frac{1}{n} (b-a)}\)
\(\displaystyle{ c^{n}_{j}= c + \frac{i-1}{n} (d-c)}\) \(\displaystyle{ d^{n}_{j}=c^{n}_{j}+ \frac{1}{n} (d-c)}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ \delta ^{n}_{ij}= \sqrt{(b^{n}_{i}-a^{n}_{i})^{2} +(d^{n}_{j}-c^{n}_{j})^{2}} = \frac{1}{n} \sqrt{(b-a)^{2}+(d-c)^{2}} }\)
średnica \(\displaystyle{ \delta _{n} = max \delta ^{n}_{ij}=\frac{1}{n} \sqrt{(b-a)^{2}+(d-c)^{2}}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \delta ^{n} \rightarrow 0}\), więc \(\displaystyle{ \Pi '_{n}}\) jest ciągiem podziałów normalnych prostokąta \(\displaystyle{ P}\). No na razie rozumiem, zdefiniowaliśmy dość naturalny podział prostokąta.


Niech \(\displaystyle{ \epsilon >0}\), objętość \(\displaystyle{ |P|=(b-a)(d-c)}\) Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła na zbiorze zwartym \(\displaystyle{ P}\) to jest na nim jednostajnie ciągła. Stąd (i tak delta jest użyta w dwóch różnych kontekstach ale co ja zrobię)
\(\displaystyle{ \exists \delta >0 \forall (x,y), (x',y')\in P ||(x,y)-(x',y')||\delta \Rightarrow |f(x,y)-f(x',y')|< \frac{\epsilon }{2|P|} }\)(4)
Ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \delta _{n} =0 to \exists n_{0} \forall n \ge n_{0}}\) \(\displaystyle{ \delta_{n} < \frac{\delta}{n} }\)(5) przy czym nie jestem pewna co jest w mianowniku tam może być zamiast \(\displaystyle{ n}\) \(\displaystyle{ W}\) albo \(\displaystyle{ 2}\). No ale jak coś jest mniejsze od \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) to na pewno jest też mniejsze od \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) dla dużych \(\displaystyle{ n}\).
Niech \(\displaystyle{ \xi i,j \in P^{n}}\), \(\displaystyle{ i,j=1,...,n}\) \(\displaystyle{ n\in \NN}\) (skąd tu się bierze to \(\displaystyle{ \xi}\) ?)Zauważamy
\(\displaystyle{ \forall n \ge n_{0} \forall (x,y)\in P^{n}_{ij}}\) \(\displaystyle{ ||(x,y)-\xi ^{n}_{ij}||=d((x,y),\xi ^{n}_{ij}) \le \delta_{n}< \frac{\delta}{2}}\) (6)
Uznam że tam jest dwójka.
Z (4) i (6) mamy że
\(\displaystyle{ f(x,y)- f(\xi ^{n}_{ij})< \frac{\epsilon }{2|P|} }\) (7)
Stąd
\(\displaystyle{ \forall n\ge n_{0} \forall j=1,..,n \forall x\in [a^{n}_{i},b^{n}_{i}]}\) \(\displaystyle{ \int_{c^{n}_{j}}^{d^{n}_{j}} |f(x,y)-f(\xi ^{n}_{ij})|dy\le \int_{c^{n}_{j}}^{d^{n}_{j}} \frac{\epsilon }{2|P|} }\)(8)

Pamiętając, że dla funkcji całkowalnej \(\displaystyle{ g}\) na \(\displaystyle{ [c,d]}\) mamy że \(\displaystyle{ \int_{c}^{d} g(y)dy= \sum_{j=1}^{n} \int_{c^{n}_{j}}^{d^{n}_{j}} g(y)dy}\) no to jest dość naturalne, że możemy zsumować kawałki. No i teraz 3 linijki nadmiaru znaczków! O co w tym chodzi jaka tu jest idea.
\(\displaystyle{ \forall n\ge n_{0} \forall x\in [a^{n}_{i},b^{n}_{i}]}\) |\(\displaystyle{ \int_{c}^{d}f(x,y)dy - \sum_{j=1}^{n} f(\xi ^{n}_{ij})(d^{n}_{j}-c^{n}_{j})|}\)
\(\displaystyle{ =| \sum_{j=1}^{n} [ \int_{c^{n}_{j}}^{d^{n}_{j}}f(x,y)dy - f(\xi ^{n}_{ij})(d^{n}_{j}-c^{n}_{j})]|}\)
\(\displaystyle{ = | \sum_{j=1}^{n} \int_{c^{n}_{j}}^{d^{n}_{j}}(f(x,y)-f(\xi ^{n}_{ij})dy | \le \sum_{j=1}^{n} \int_{c^{n}_{j}}^{d^{n}_{j}} |f(x,y)-f(\xi ^{n}_{ij})|dy}\)
\(\displaystyle{ \le \sum_{j=1}^{n} \int_{c^{n}_{j}}^{d^{n}_{j}} \frac{\epsilon }{2|P|}dy = \int_{c}^{d} \frac{\epsilon }{2(b-a)}dy= \frac{\epsilon (d-c)}{2(b-a(d-c)}= \frac{\epsilon }{2(b-a)} }\) (9) w sensie że co, że chcemy oszacować całkę różnic między \(\displaystyle{ f(x,y)}\) a \(\displaystyle{ \xi}\)? no ok ale nie wiem co to jest \(\displaystyle{ \xi}\) ani skąd się wzięło. Tu chodzi o wartościowanie \(\displaystyle{ T_{n}}\)? Z tego się wzięło \(\displaystyle{ \xi}\)? To by miało sens.
Zatem całkując powyższe po \(\displaystyle{ [a^{n}_{i}, b^{n}_{i}]}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ \forall n\ge n_{0} \forall i=1,..n \int_{a^{n}_{i}}^{b^{n}_{i}} }\)
\(\displaystyle{ | \int_{c}^{d}f(x,y)dy- \sum_{j=1}^{n}f(\xi ^{n}_{ij})(d^{n}_{j}-c^{n}_{j} |dx \le \int_{a^{n}_{i}}^{b^{n}_{i}} \frac{\epsilon }{2(b-a)} dx}\) (10) Ok to przekształcenie jest dość naturalne, po prostu całkujemy mały kawałek. Ale teraz o panie znowu bardzo dużo linijek przekształceń.

\(\displaystyle{ \forall n\ge n_{0} }\)\(\displaystyle{ | \int_{a}^{b} [ \int_{c}^{d}f(x,y)dy ]dx-S(f,\Pi '_{n},T'_{n})|=| \int_{a}^{b} [ \int_{c}^{d} f(x,y)dy]dx- \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} f(\xi ^{n}_{ij})(d^{n}_{j}-c^{n}_{j})(b^{n}_{i}-a^{n}_{i})|=}\)
\(\displaystyle{ = |\sum_{i=1}^{n} \int_{a^{n}_{i}}^{b^{n}_{i}} [ \int_{c}^{d} f(x,y)dy]dx- \sum_{i=1}^{n} \sum_{i=1}^{n}f(\xi ^{n}_{y})(d^{n}_{j}-c^{n}_{j})(b^{n}_{i}-a^{n}_{i})| }\)
\(\displaystyle{ =| \sum_{i=1}^{n} \int_{a^{n}_{i}}^{b^{n}_{i}}[ \int_{c}^{d}f(x,y)dy- \sum_{j=1}^{n}f(\xi ^{n}_{ij})(d^{n}_{j}-c^{n}_{j} ) ]dx |}\)
\(\displaystyle{ \le \sum_{i=1}^{n} \int_{a^{n}_{i}}^{b^{n}_{i}}| \int_{c}^{d}f(x,y)dy- \sum_{j=1}^{n}f(\xi ^{n}_{ij})(d^{n}_{j}-c^{n}_{j}) |dx}\)
\(\displaystyle{ \le \sum_{i=1}^{n} \int_{a^{n}_{i}}^{b^{n}_{i}} \frac{\epsilon }{2(b-a)}= \int_{a}^{b} \frac{\epsilon }{2(b-a)}= \frac{\epsilon }{2} <\epsilon}\)

Zatem pokazaliśmy, że
\(\displaystyle{ \forall \epsilon >0 \exists n_{0}\in\NN \forall n\ge n_{0}}\) \(\displaystyle{ | \int_{a}^{b} [ \int_{c}^{d} f(x,y)dy]dx-S(F,\Pi '_{n}, T'_{n})|<\epsilon}\)
a tym samym \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } S(f,\Pi '_{n},T'_{n}) = \int_{a}^{b}[ \int_{c}^{d}f(x,y)dy ]dx}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } S(f,\Pi '_{n},T'_{n}) = \int_{P} \int f(x,y)dydx}\) więc otrzymujemy tezę. Końcówka jest oczywista, ale wcześniej?