Naczynia z wodą
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11503
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3163 razy
- Pomógł: 749 razy
Naczynia z wodą
Do dwóch jednakowych naczyń w kształcie walca włożono dwie bryły. Do naczyń tych wlewa się z jednakową intensywnością woda. Udowodnić, że jeśli w każdej chwili poziom wody w obu naczyniach był jednakowy, to pola przekrojów poziomych obu brył na tych samych wysokościach są równe.
Ukryta treść:
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Naczynia z wodą
Można przyjąć, że:
\(\displaystyle{ S_{1}(x)}\) - pole przekroju walca na zewnątrz wrzuconej do środka figury w pierwszym walcu na wysokości - \(\displaystyle{ x}\)
\(\displaystyle{ S_{2}(x)}\) - pole przekroju walca na zewnątrz wrzuconej do środka figury w drugim walcu na wysokości - \(\displaystyle{ x}\)
oczywiście pola wewnątrz figury odpowiednio to:
\(\displaystyle{ P_{1}(x)= \pi r^2-S_{1}(x)}\)
oraz:
\(\displaystyle{ P_{2}(x)= \pi r^2-S_{2}(x)}\)
Objętości wody w obu walcach są takie same i wynoszą:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{x} S_{1}(x)dx \int_{0}^{x} S_{2}(x)dx}\)
po obustronnym zróżniczkowaniu otrzymamy (tw. o górnej granicy całkowania):
\(\displaystyle{ S_{1}(x) = S_{2}(x)}\)
więc pola przekrojów poza figurami są takie same, a co za tym idzie mamy:
\(\displaystyle{ P_{1}(x)= \pi r^2-S_{1}(x)=P_{2}(x)= \pi r^2-S_{2}(x)}\)
a więc pola przekrojów obu figur są takie samo na każdej wysokości bo:
\(\displaystyle{ P_{1}(x)= P_{2}(x)}\)
cnd...
\(\displaystyle{ S_{1}(x)}\) - pole przekroju walca na zewnątrz wrzuconej do środka figury w pierwszym walcu na wysokości - \(\displaystyle{ x}\)
\(\displaystyle{ S_{2}(x)}\) - pole przekroju walca na zewnątrz wrzuconej do środka figury w drugim walcu na wysokości - \(\displaystyle{ x}\)
oczywiście pola wewnątrz figury odpowiednio to:
\(\displaystyle{ P_{1}(x)= \pi r^2-S_{1}(x)}\)
oraz:
\(\displaystyle{ P_{2}(x)= \pi r^2-S_{2}(x)}\)
Objętości wody w obu walcach są takie same i wynoszą:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{x} S_{1}(x)dx \int_{0}^{x} S_{2}(x)dx}\)
po obustronnym zróżniczkowaniu otrzymamy (tw. o górnej granicy całkowania):
\(\displaystyle{ S_{1}(x) = S_{2}(x)}\)
więc pola przekrojów poza figurami są takie same, a co za tym idzie mamy:
\(\displaystyle{ P_{1}(x)= \pi r^2-S_{1}(x)=P_{2}(x)= \pi r^2-S_{2}(x)}\)
a więc pola przekrojów obu figur są takie samo na każdej wysokości bo:
\(\displaystyle{ P_{1}(x)= P_{2}(x)}\)
cnd...
-
- Użytkownik
- Posty: 22245
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3762 razy
Re: Naczynia z wodą
To rozwiązanie korzysta z reguły Cavallieri'ego i (podobnie jak zadanie) jest jedynie częściowo poprawne. Jeżeli bowiem bryły mogą pływać, to część zanurzona musi mieć takie same przekroje, ale to, co wystaje ponad wodę może być jakiekolwiek.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8593
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3355 razy
Re: Naczynia z wodą
Lipa:
Dość łatwo można podać kontrprzykład, gdyż w zadaniu nie ma zastrzeżenia, że krany otwarto w tej samej chwili.
Niech w pierwszym naczyniu woda spływa po bryle, a w drugim strumień spadającej wody nie dotyka bryły.
Jeśli kształt brył i opóźnienie otwarcia drugiego kranu są tak dobrane, że w każdej chwili poziom wody w obu naczyniach jest jednakowy, to pola przekrojów poziomych obu brył na tych samych wysokościach nigdy nie są równe.
Dość łatwo można podać kontrprzykład, gdyż w zadaniu nie ma zastrzeżenia, że krany otwarto w tej samej chwili.
Niech w pierwszym naczyniu woda spływa po bryle, a w drugim strumień spadającej wody nie dotyka bryły.
Jeśli kształt brył i opóźnienie otwarcia drugiego kranu są tak dobrane, że w każdej chwili poziom wody w obu naczyniach jest jednakowy, to pola przekrojów poziomych obu brył na tych samych wysokościach nigdy nie są równe.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8593
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3355 razy
Re: Naczynia z wodą
Prawdopodobnie różnie rozumiemy fragment ''do naczyń tych wlewa się z jednakową intensywnością woda''.
Dla mnie to stała ilość wody w jednostce czasu podczas wlewania, np dwa litry na minutę, i nie ma nic wspólnego z czasem otwarcia kranów. Podobnie jak dwa przelotne deszcze mogły być równie intensywnie, choć padały w różnych dniach i opad trwał różną ilość czasu.
Dla mnie to stała ilość wody w jednostce czasu podczas wlewania, np dwa litry na minutę, i nie ma nic wspólnego z czasem otwarcia kranów. Podobnie jak dwa przelotne deszcze mogły być równie intensywnie, choć padały w różnych dniach i opad trwał różną ilość czasu.