Jak obliczyć masę stożka za pomocą całki potrójnej wiedząc że gęstość wynosi \(\displaystyle{ 1}\), promień \(\displaystyle{ R}\) a wysokość \(\displaystyle{ H}\).
Wiem, że trzeba obliczyć całkę z jedynki po obszarze ograniczonym krzywymi. Ale nie wiem jakie zrobić ograniczenia krzywych?
Masa stożka
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Masa stożka
Stożkiem \(\displaystyle{ S(\mathbf P, \mathbf v) }\) o podstawie \(\displaystyle{ \mathbf P }\) i wierzchołku \(\displaystyle{ \mathbf v, \ \ \mathbf v\in \RR^3 }\) nazywamy sumę wszystkich odcinków zaczynających się w punkcie \(\displaystyle{ \mathbf v }\) i kończących się w punkcie zbioru \(\displaystyle{ \mathbf P\times \{0\}.}\)
Możemy więc napisać:
\(\displaystyle{ S(\mathbf P, v) = \{ t\cdot (\mathbf x, 0) + (1-t)\cdot \mathbf v, \ \ \mathbf x\in \mathbf P, \ \ t\in [0, 1] \}.}\)
Niech \(\displaystyle{ \phi: \RR^2 \times (0,1) \rightarrow \RR^3 }\) będzie odwzorowaniem danym wzorem:
\(\displaystyle{ \phi(\mathbf x, t) = t(\mathbf x, 0) + (1-t)\cdot \mathbf v.}\)
\(\displaystyle{ \phi[(x_{1}, x_{2}, 0), t] = t\cdot [(x_{1},x_{2}, 0), 0] + (1- t)\cdot (0, 0, v_{3}).}\)
Macierz pierwszej różniczki tego odwzorowania:
\(\displaystyle{ D (\phi\left(\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ t \end{bmatrix}\right)) = \begin{bmatrix} t & 0 & x_{1} \\ 0 & t & x_{2} \\0 & 0 & -v_{3} \end{bmatrix} }\)
Wartość bezwzględna jej wyznacznika:
\(\displaystyle{ \left|\det (D(\phi \left( \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ t \end{bmatrix}\right))\right| = t^2\cdot v_{3}.}\)
Masa stożka:
\(\displaystyle{ m = \rho \cdot l_{3}(S) = \int_{\phi(G)} 1\cdot \chi_{S} \ \ dl_{3} = [podstawienie] = \int_{G} \chi_{\mathbf P \times (0,1)} \cdot t^2 \cdot v_{3} \ \ dl_{3} = [Fubini] = \int_{\RR^2}\chi_{\mathbf P} dl_{2} \int_{0}^{1}t^2\cdot v_{3} \ \ dt = l_{2}\mathbf P \cdot \frac{1}{3} v_{3} = \pi R^2 \cdot \frac{1}{3} H = }\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{3}\pi \cdot R^2 H. }\)
gdzie:
\(\displaystyle{ \chi(\mathbf A) = \begin{cases} 1, \ \ \text{gdy} \ \ \mathbf A \subset \RR^2 \\ 0 \ \ \text{gdy} \ \ \mathbf A \not \subset \RR^2 \end{cases} }\) funkcja charakterystyczna zbioru,
\(\displaystyle{ v_{3} = H }\) wysokość stróżka.
Możemy więc napisać:
\(\displaystyle{ S(\mathbf P, v) = \{ t\cdot (\mathbf x, 0) + (1-t)\cdot \mathbf v, \ \ \mathbf x\in \mathbf P, \ \ t\in [0, 1] \}.}\)
Niech \(\displaystyle{ \phi: \RR^2 \times (0,1) \rightarrow \RR^3 }\) będzie odwzorowaniem danym wzorem:
\(\displaystyle{ \phi(\mathbf x, t) = t(\mathbf x, 0) + (1-t)\cdot \mathbf v.}\)
\(\displaystyle{ \phi[(x_{1}, x_{2}, 0), t] = t\cdot [(x_{1},x_{2}, 0), 0] + (1- t)\cdot (0, 0, v_{3}).}\)
Macierz pierwszej różniczki tego odwzorowania:
\(\displaystyle{ D (\phi\left(\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ t \end{bmatrix}\right)) = \begin{bmatrix} t & 0 & x_{1} \\ 0 & t & x_{2} \\0 & 0 & -v_{3} \end{bmatrix} }\)
Wartość bezwzględna jej wyznacznika:
\(\displaystyle{ \left|\det (D(\phi \left( \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ t \end{bmatrix}\right))\right| = t^2\cdot v_{3}.}\)
Masa stożka:
\(\displaystyle{ m = \rho \cdot l_{3}(S) = \int_{\phi(G)} 1\cdot \chi_{S} \ \ dl_{3} = [podstawienie] = \int_{G} \chi_{\mathbf P \times (0,1)} \cdot t^2 \cdot v_{3} \ \ dl_{3} = [Fubini] = \int_{\RR^2}\chi_{\mathbf P} dl_{2} \int_{0}^{1}t^2\cdot v_{3} \ \ dt = l_{2}\mathbf P \cdot \frac{1}{3} v_{3} = \pi R^2 \cdot \frac{1}{3} H = }\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{3}\pi \cdot R^2 H. }\)
gdzie:
\(\displaystyle{ \chi(\mathbf A) = \begin{cases} 1, \ \ \text{gdy} \ \ \mathbf A \subset \RR^2 \\ 0 \ \ \text{gdy} \ \ \mathbf A \not \subset \RR^2 \end{cases} }\) funkcja charakterystyczna zbioru,
\(\displaystyle{ v_{3} = H }\) wysokość stróżka.