interpretacja geometryczna calki oznaczonej

kanem · Post autor: **kanem** » 9 wrz 2010, o 16:46

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1} \frac{x ^{2} dx}{ \sqrt{x ^{2}+1 } }}\) jak się zabrać do tej całki? i jeszcze podpunkt :
W interpretacji geometrycznej oznacza to, że...
Prosze o pomoc, egzamin tuz tuz

M Ciesielski · Post autor: **M Ciesielski** » 9 wrz 2010, o 17:32

Tę całkę możesz policzyć przez części:

\(\displaystyle{ u = x \quad \mbox{d}v = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}\)

No a interpretację geometryczną całki oznaczonej chyba znasz, prawda?

dareox · Post autor: **dareox** » 9 wrz 2010, o 17:35

Interpretacja geometryczna oznacza to, ze ta całka liczy pole pod funkcją w zakresie od -1 do 1 tu masz rozrysowane a całka liczy pole żółtego obszaru

: AU; 1torco.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 416 razy

kanem · Post autor: **kanem** » 9 wrz 2010, o 17:45

dzieki panowie, ale ta calka tez mnie meczy \(\displaystyle{ u = x \quad \mbox{d}v = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}\)

M Ciesielski · Post autor: **M Ciesielski** » 9 wrz 2010, o 19:11

No to pokaż gdzie się zacinasz. Mając \(\displaystyle{ \mbox{d}v}\), obliczasz \(\displaystyle{ v}\) całkując przez postawienie \(\displaystyle{ t = x^2+1}\).

kanem · Post autor: **kanem** » 9 wrz 2010, o 20:25

a nie powinno byc \(\displaystyle{ u=x ^{2}}\) \(\displaystyle{ dv= \frac{1}{ \sqrt{x ^{2} +1} }}\)?

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 10 wrz 2010, o 14:33

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x ^{2} dx}{ \sqrt{x ^{2}+1 } }}\)

Tę całkę można obliczyć podstawieniem Eulera

\(\displaystyle{ t=x+ \sqrt{x^2+1}\\
t-x= \sqrt{x^2+1}\\
t^2-2tx+x^2=x^2+1\\
t^2-2tx=1\\
2tx=t^2-1\\
x= \frac{t^2-1}{2t}\\
\sqrt{x^2+1}=t- \frac{t^2-1}{2t}= \frac{2t^2-t^2+1}{2t}= \frac{t^2+1}{2t}}\)

\(\displaystyle{ \mbox{d}x = \frac{2t \cdot 2t-2 \left(t^2-1 \right) }{4t^2} \mbox{d}t\\
\mbox{d}x =\frac{4t^2-2t^2+2}{4t^2} \mbox{d}t\\
\mbox{d}x = \frac{2t^2+2}{4t^2} \mbox{d}t\\
\mbox{d}x = \frac{t^2+1}{2t^2} \mbox{d}t}\)

\(\displaystyle{ \int{ \frac{ \left( t^2-1\right)^2 }{4t^2} \cdot \frac{2t}{t^2+1} \cdot \frac{t^2+1}{2t^2} \mbox{d}t}}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{4}\int{ \left(t- \frac{2}{t}+ \frac{1}{t^3} \right) \mbox{d}t}}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{4} \left( \frac{t^2}{2} -2\ln{ \left|t \right| }- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^2} \right) +C\\
= \frac{1}{8} \left( \frac{t^2-1}{t} \cdot \frac{t^2+1}{t}-4\ln{ \left|t \right| } \right) +C\\
= \frac{1}{8} \left( 2x \cdot 2 \sqrt{x^2+1}-4\ln{ \left|x+ \sqrt{x^2+1} \right| } \right) +C\\
= \frac{1}{2} \left( x\sqrt{x^2+1}-\ln{ \left|x+ \sqrt{x^2+1} \right| } \right) +C}\)