Czemu całka liczy pole pod funkcją ?

Xenon02 · Post autor: **Xenon02** » 9 sty 2023, o 01:48

Jan Kraszewski pisze: ↑9 sty 2023, o 01:01
Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 00:58Natomiast tam jest twierdzenie, więc ona mówi że w przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\) istnieje taki punkt \(\displaystyle{ c}\) w którym "strom" będzie taki sam jak "strom" odcinka pomiędzy punktem \(\displaystyle{ a,b}\) ? I dlatego tam jest \(\displaystyle{ f'(c)}\) dla tego twierdzenia ponieważ to jest "strom" ? Więc to jest jakby pochodna ale nie jest on uniwersalny, bo nie jest ona dla każdego \(\displaystyle{ x}\) funkcji tylko dla konkretnych \(\displaystyle{ c}\)?
Tak, o coś takiego chodzi.

JK

To jeszcze raz bym to powtórzył tylko przy pomocy jeszcze wzorów, i jeśli mógłbyś mnie poprawić jeśli źle gadam.

Definicją jest na pewno ten wzór \(\displaystyle{ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\). I ten wzór określa jak "stromy" jest wykres w danym punkcie tym punktem jest \(\displaystyle{ x}\). I ta pochodna określa mi w każdym punkcie jak on jest "stromy". Jednak tam nie mamy żadnych różnic takich jak \(\displaystyle{ b-a}\). Więc tam nie bierzemy 2 punkty tylko bierzemy 1 punkt. Chociaż nie wiem czy mogę wziąć 2 punkty i na podstawie dwóch punktów policzyć jaki jest stromy w jednym punkcie ?

Twierdzenie natomiast : \(\displaystyle{ f'(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\) mówi natomiast że może istnieć taki punkt \(\displaystyle{ c}\) ale nie musi istnieć taki punkt, w którym nachylenie stycznej jest równa nachyleniu prostej pomiędzy punktem \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

Chociaż mam jedną małą wątpliwość która jest spowodowana problemem czysto ideologicznym.
W definicji pochodnej tam też coś było coś o dwóch punktach które odległości skracają się do 0. I teraz mam taką zagwozdkę w tej sprawie :

- skoro \(\displaystyle{ \Delta x}\) i to zmierza do zera to teoretycznie \(\displaystyle{ \Delta y}\) też zmierza do zera więc mamy \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\), to nawet jak daje mi jakąś wartość ta pochodna gdzie \(\displaystyle{ \Delta y}\) jest bliski zera, to daje dużą tą liczbę np dla \(\displaystyle{ f(x) = x^2}\) to pochodna w punkcie 2 wynosi \(\displaystyle{ f'(x) = 4}\) a \(\displaystyle{ \Delta y}\) zmierza do wartości bliskiej zera czyli nie powinno to być 4 tylko np 0.00000001 albo coś.

- skoro jest to twierdzenie \(\displaystyle{ f'(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\) daje mi to że istnieje taki punkt że pochodna jest równa temu "stromowi" z punktu \(\displaystyle{ a-b}\). Wykorzystuje to dwa punkty, tak jak to powiedziałem przy pochodnej wyżej, ale czy to nie będzie za duża liczba ? Tak jak to było z pochodną że to wszystko zmierza do 0 ?

Pozdrawiam.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 9 sty 2023, o 02:07

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 01:48Definicją jest na pewno ten wzór \(\displaystyle{ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\). I ten wzór określa jak "stromy" jest wykres w danym punkcie tym punktem jest \(\displaystyle{ x}\). I ta pochodna określa mi w każdym punkcie jak on jest "stromy". Jednak tam nie mamy żadnych różnic takich jak \(\displaystyle{ b-a}\). Więc tam nie bierzemy 2 punkty tylko bierzemy 1 punkt. Chociaż nie wiem czy mogę wziąć 2 punkty i na podstawie dwóch punktów policzyć jaki jest stromy w jednym punkcie ?

Dwa punkty masz w ilorazie różnicowym \(\displaystyle{ \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\) i są to \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ x+\Delta x}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \Delta x \to 0}\), więc "odległości skracają się do 0" i w granicy masz jeden punkt.

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 01:48Twierdzenie natomiast : \(\displaystyle{ f'(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\) mówi natomiast że może istnieć taki punkt \(\displaystyle{ c}\) ale nie musi istnieć taki punkt, w którym nachylenie stycznej jest równa nachyleniu prostej pomiędzy punktem \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

Nie, twierdzenie mówi, że istnieje taki punkt (a nie "może, ale nie musi") - napisałem to już dwa razy.

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 01:48 - skoro \(\displaystyle{ \Delta x}\) i to zmierza do zera to teoretycznie \(\displaystyle{ \Delta y}\) też zmierza do zera więc mamy \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\), to nawet jak daje mi jakąś wartość ta pochodna gdzie \(\displaystyle{ \Delta y}\) jest bliski zera, to daje dużą tą liczbę np dla \(\displaystyle{ f(x) = x^2}\) to pochodna w punkcie 2 wynosi \(\displaystyle{ f'(x) = 4}\) a \(\displaystyle{ \Delta y}\) zmierza do wartości bliskiej zera czyli nie powinno to być 4 tylko np 0.00000001 albo coś.

A niby dlaczego? To co piszesz nie ma żadnego związku z definicją.

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 01:48- skoro jest to twierdzenie \(\displaystyle{ f'(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\) daje mi to że istnieje taki punkt że pochodna jest równa temu "stromowi" z punktu \(\displaystyle{ a-b}\).

Co to jest "punkt \(\displaystyle{ a-b}\)"?

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 01:48Wykorzystuje to dwa punkty, tak jak to powiedziałem przy pochodnej wyżej, ale czy to nie będzie za duża liczba ? Tak jak to było z pochodną że to wszystko zmierza do 0 ?

Nie rozumiem.

JK

Xenon02 · Post autor: **Xenon02** » 9 sty 2023, o 02:20

Jan Kraszewski pisze: ↑9 sty 2023, o 02:07
Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 01:48Definicją jest na pewno ten wzór \(\displaystyle{ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\). I ten wzór określa jak "stromy" jest wykres w danym punkcie tym punktem jest \(\displaystyle{ x}\). I ta pochodna określa mi w każdym punkcie jak on jest "stromy". Jednak tam nie mamy żadnych różnic takich jak \(\displaystyle{ b-a}\). Więc tam nie bierzemy 2 punkty tylko bierzemy 1 punkt. Chociaż nie wiem czy mogę wziąć 2 punkty i na podstawie dwóch punktów policzyć jaki jest stromy w jednym punkcie ?
Dwa punkty masz w ilorazie różnicowym \(\displaystyle{ \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\) i są to \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ x+\Delta x}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \Delta x \to 0}\), więc "odległości skracają się do 0" i w granicy masz jeden punkt.

A no tak rzeczywiście czyli też operujemy dwoma punktami jak tutaj : \(\displaystyle{ f'(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\)

Jan Kraszewski pisze: ↑9 sty 2023, o 02:07
Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 01:48Twierdzenie natomiast : \(\displaystyle{ f'(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\) mówi natomiast że może istnieć taki punkt \(\displaystyle{ c}\) ale nie musi istnieć taki punkt, w którym nachylenie stycznej jest równa nachyleniu prostej pomiędzy punktem \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).
Nie, twierdzenie mówi, że istnieje taki punkt (a nie "może, ale nie musi") - napisałem to już dwa razy.

A czyli musi istnieć okej.

Jan Kraszewski pisze: ↑9 sty 2023, o 02:07
Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 01:48 - skoro \(\displaystyle{ \Delta x}\) i to zmierza do zera to teoretycznie \(\displaystyle{ \Delta y}\) też zmierza do zera więc mamy \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\), to nawet jak daje mi jakąś wartość ta pochodna gdzie \(\displaystyle{ \Delta y}\) jest bliski zera, to daje dużą tą liczbę np dla \(\displaystyle{ f(x) = x^2}\) to pochodna w punkcie 2 wynosi \(\displaystyle{ f'(x) = 4}\) a \(\displaystyle{ \Delta y}\) zmierza do wartości bliskiej zera czyli nie powinno to być 4 tylko np 0.00000001 albo coś.
A niby dlaczego? To co piszesz nie ma żadnego związku z definicją.

Stwierdziłem to po zobaczeniu tego obrazka :

: obraz_2023-01-09_021234234.png (13.54 KiB) Przejrzano 770 razy

Proszę zobaczyć że jak skracamy \(\displaystyle{ \Delta x}\) do prawie zera bo to jest granica więc nigdy to nie będzie zero to i \(\displaystyle{ \Delta y}\) też skraca się do prawie zera.
Więc skoro tak jest to prawie jesteśmy w sytuacji gdzie mamy \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\), tylko wiemy że to nie będzie tak o ani \(\displaystyle{ \Delta y}\) ani \(\displaystyle{ \Delta x}\) nie będą równe 0.

Więc czemu akurat jak \(\displaystyle{ \Delta y}\) który skraca się do bardzo małych liczb bo ta różnica jest mała, to daje nam całkiem duże liczby jak to było w moim przykładzie z \(\displaystyle{ f(x) = x^2}\)

A drugą rzeczą jest to że zawsze liczymy pochodną z jednego punktu a nie z dwóch, więc dlatego lekko się zdziwiłem skąd mamy to pochodną jak nie mamy drugiego x.

Jan Kraszewski pisze: ↑9 sty 2023, o 02:07 Co to jest "punkt a−b"?

Przepraszam miało być \(\displaystyle{ b - a}\)

Jan Kraszewski pisze: ↑9 sty 2023, o 02:07 Nie rozumiem.

bo te punkty są dosyć daleko oddalone y_1 i y_2. A w typowej pochodnej te różnice powinny być małe żeby określić jaki jest "stromy" w danym punkcie, a my tutaj chcemy znaleźć "c" w którym będzie on tak samo stromy jak prosta przecinająca punkty a i b.

Co mam przez to na myśli jest to że y_1 oraz y_2 są dosyć dużymi różnicami, a pochodna mówi jak stroma jest funkcja w punkcie ale z małych różnich, to nie wiem czy to można nazwać pochodną jak są duże różnice. Chociaż to też nie pasuje do mojej konkluzji ponieważ te małe różnice w klasycznym wzorze na pochodną w punkcie też miałem dużą liczbę tak jakby różnice w danym punkcie były duże a różnice w punkcie są małe jak dobrze wiem. Bo tak mówi rysunek :

: obraz_2023-01-09_021234234.png (13.54 KiB) Przejrzano 770 razy

Ale wynik pochodnej wskazuje na to że jednak różnice między y_1 a y_2 są duże a one zmierzają do 0. Więc trochę tego nie rozumiem.

Albo jeszcze inaczej, w pochodnej tej klasycznej \(\displaystyle{ \Delta x}\) oraz \(\displaystyle{ \Delta y}\) zmierzają do zera, tak że mam prawie sytuację \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) więc skąd mamy takie normalne liczy jak z przykłady \(\displaystyle{ f(x) = x^2 }\) dla punktu \(\displaystyle{ x = 2}\) miałem \(\displaystyle{ f'(x) = 4}\) czyli tak jakby \(\displaystyle{ \Delta y}\) miała dużą różnicę kiedy \(\displaystyle{ \Delta x}\) jest prawie zerowa.

Przepraszam za tak duży blok tekstu i nie wiem czy dobrze się wyraziłem, proszę dać znać.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 9 sty 2023, o 11:11

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 02:20A no tak rzeczywiście czyli też operujemy dwoma punktami jak tutaj : \(\displaystyle{ f'(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\)

No niezupełnie "jak tutaj".

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 02:20Więc czemu akurat jak \(\displaystyle{ \Delta y}\) który skraca się do bardzo małych liczb bo ta różnica jest mała, to daje nam całkiem duże liczby jak to było w moim przykładzie z \(\displaystyle{ f(x) = x^2}\)

No taka karma...

\(\displaystyle{ \Delta y}\) jest mniej więcej cztery razy większa od \(\displaystyle{ \Delta x}\), więc ich iloraz dąży do \(\displaystyle{ 4}\). Jeżeli Cię to dziwi to znaczy, że powinieneś wrócić do pojęcia granicy.

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 02:20A drugą rzeczą jest to że zawsze liczymy pochodną z jednego punktu a nie z dwóch, więc dlatego lekko się zdziwiłem skąd mamy to pochodną jak nie mamy drugiego x.

Nie rozumiem.

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 02:20Przepraszam miało być \(\displaystyle{ b - a}\)

No to co to jest "punkt \(\displaystyle{ b - a}\)"?

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 02:20Albo jeszcze inaczej, w pochodnej tej klasycznej \(\displaystyle{ \Delta x}\) oraz \(\displaystyle{ \Delta y}\) zmierzają do zera, tak że mam prawie sytuację \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) więc skąd mamy takie normalne liczy jak z przykłady \(\displaystyle{ f(x) = x^2 }\) dla punktu \(\displaystyle{ x = 2}\) miałem \(\displaystyle{ f'(x) = 4}\) czyli tak jakby \(\displaystyle{ \Delta y}\) miała dużą różnicę kiedy \(\displaystyle{ \Delta x}\) jest prawie zerowa.

Ale Ty niczego nie liczysz! To jest twierdzenie, które mówi o istnieniu takiego \(\displaystyle{ c}\), natomiast nic nie mówi na temat tego, ile to \(\displaystyle{ c}\) wynosi. Nie służy też do liczenia \(\displaystyle{ f'(c).}\)

Niestety w ogóle nie zrozumiałeś tego, co było napisane w tym anglojęzycznym pliku, a tam niżej było nawet ładne obrazowe wytłumaczenie sensu tego twierdzenia. A Ty patrzysz na twierdzenie i widzisz tam tylko wzorek.

JK

Xenon02 · Post autor: **Xenon02** » 9 sty 2023, o 18:53

Jan Kraszewski pisze: ↑9 sty 2023, o 11:11 No niezupełnie "jak tutaj".

Nie rozumiem. Tak mamy punkt a oraz punkt b czyli też operuję dwoma punktami.

Jan Kraszewski pisze: ↑9 sty 2023, o 11:11 No taka karma...

Δy jest mniej więcej cztery razy większa od Δx, więc ich iloraz dąży do 4. Jeżeli Cię to dziwi to znaczy, że powinieneś wrócić do pojęcia granicy.

Wiem że granicą \(\displaystyle{ \Delta x \to 0}\) mówi mi tyle że skracam wartość różnicy między punktami do bardzo małych wartości np \(\displaystyle{ \Delta x= 0,0000000001}\) i to może dalej się skracać do mniejszej wartości lecz nigdy nie osiągnie wartości 0.
Ale wraz ze skracaniem się \(\displaystyle{ \Delta x \to 0}\) to i też \(\displaystyle{ \Delta y \to 0}\) czyli też wartości powinny być bardzo małe np \(\displaystyle{ \Delta y = 0,00000000000001}\)
Bo ta różnica też maleje.

I nie za bardzo rozumiem dlaczego akurat \(\displaystyle{ \Delta y}\) jest cztery razy większa.

Mógłbyś rozwinąć swoją myśl ?

Bo patrząc na obrazki z stronki anglojęzycznej wygląda to tak jakby miało to być \(\displaystyle{ 0/0}\) albo \(\displaystyle{ \text{bardzo_mała_wartość/ bardzo_mała_wartość}}\)

Więc nie wiem czemu mamy normalne liczby jak np 4 itp.

Przepraszam że pytam o oczywistości dla was, nie jestem za bardzo pewien swoich obserwacji ponieważ autor anglojęzycznej strony również wspominał o problemie z \(\displaystyle{ 0/0}\) tylko że dla rozwiązania \(\displaystyle{ \Delta x}\) to też zmierzamy do zera czyli blisko tego przypadku \(\displaystyle{ 0/0}\).

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 01:48 - skoro jest to twierdzenie
\(\displaystyle{ f′(x)=\frac{f(b)−f(a)}{b−a}}\) daje mi to że istnieje taki punkt że pochodna jest równa temu "stromowi" z punktu a−b. Wykorzystuje to dwa punkty, tak jak to powiedziałem przy pochodnej wyżej, ale czy to nie będzie za duża liczba ? Tak jak to było z pochodną że to wszystko zmierza do 0 ?

Tutaj się poprawię.

W takim razie to twierdzenie daje mi to że ta różnica \(\displaystyle{ \frac{f(b) - f(a)}{b-a}}\) istnieje w którymś punkcie dla funkcji pochodnej \(\displaystyle{ f'(c)}\). Więc ta różnica to nie jest wzór funkcji ale raczej informacja że jeśli mam obliczony jakiś strom pomiędzy dwoma punktami to istnieje taki punkt w funkcji pochodnej która jest równa tej różnicy. Jest to taka różnica że to nie jest wzór na pochodną funkcji w punkcie a raczej ta równość ma oznaczać że istnieje taka pochodną w punkcie c (nachylenie funkcji w punkcie c) która jest równa nachyleniu między punktami a i b. Więc ta pochodną jest po to żeby znaleźć ten konkretny punkt który jest równy temu nachyleniowi prostej a i b.

Jan Kraszewski pisze: ↑9 sty 2023, o 11:11 Ale Ty niczego nie liczysz! To jest twierdzenie, które mówi o istnieniu takiego c, natomiast nic nie mówi na temat tego, ile to c wynosi. Nie służy też do liczenia f′(c).

Niestety w ogóle nie zrozumiałeś tego, co było napisane w tym anglojęzycznym pliku, a tam niżej było nawet ładne obrazowe wytłumaczenie sensu tego twierdzenia. A Ty patrzysz na twierdzenie i widzisz tam tylko wzorek.

JK

To znaczy to \(\displaystyle{ f'(c)}\) to ma być po prostu równość która stwierdza że istnieje taka pochodną która jest równa temu nachyleniu.

To znaczy trochę to jest mylne jak widzę znak pochodnej \(\displaystyle{ f'(c)}\) i tą równość bo w jednym to mamy wzór na pochodną funkcji w punkcie a potem mam jakiś wzór bardzo podobną do pochodnej ale bez granicy. Czyli \(\displaystyle{ f'(c)}\)
Mam uznać za coś innego niż pochodną ? Trochę ciężko jest mi się wysłowić jak dobrze napisać różnicę między \(\displaystyle{ f'(c)}\) w kontekście liczenia pochodnej a \(\displaystyle{ f'(c)}\) w kontekście tego że istnieje takie "c". Ponieważ w jednym jak i w drugim mam pochodną i znak równości.

Wiem brzmi to głupio, proszę o zrozumienie

Post autor: **Jan Kraszewski** » 9 sty 2023, o 19:20

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 18:53 Wiem że granicą \(\displaystyle{ \Delta x \to 0}\) mówi mi tyle że skracam wartość różnicy między punktami do bardzo małych wartości np \(\displaystyle{ \Delta x= 0,0000000001}\) i to może dalej się skracać do mniejszej wartości lecz nigdy nie osiągnie wartości 0.
Ale wraz ze skracaniem się \(\displaystyle{ \Delta x \to 0}\) to i też \(\displaystyle{ \Delta y \to 0}\) czyli też wartości powinny być bardzo małe np \(\displaystyle{ \Delta y = 0,00000000000001}\)
Bo ta różnica też maleje.

No i co z tego?

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 18:53 I nie za bardzo rozumiem dlaczego akurat \(\displaystyle{ \Delta y}\) jest cztery razy większa.

Policz sobie.

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 18:53 Bo patrząc na obrazki z stronki anglojęzycznej wygląda to tak jakby miało to być \(\displaystyle{ 0/0}\) albo \(\displaystyle{ \text{bardzo_mała_wartość/ bardzo_mała_wartość}}\)

No i co z tego? Taki iloraz może być bardzo duży.

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 18:53 Więc nie wiem czemu mamy normalne liczby jak np 4 itp.

Powtarzam: policz sobie.

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 18:53 W takim razie to twierdzenie daje mi to że ta różnica \(\displaystyle{ \frac{f(b) - f(a)}{b-a}}\) istnieje w którymś punkcie dla funkcji pochodnej \(\displaystyle{ f'(c)}\). Więc ta różnica to nie jest wzór funkcji ale raczej informacja że jeśli mam obliczony jakiś strom pomiędzy dwoma punktami to istnieje taki punkt w funkcji pochodnej która jest równa tej różnicy. Jest to taka różnica że to nie jest wzór na pochodną funkcji w punkcie a raczej ta równość ma oznaczać że istnieje taka pochodną w punkcie c (nachylenie funkcji w punkcie c) która jest równa nachyleniu między punktami a i b.

Mniej więcej.

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 18:53 Więc ta pochodną jest po to żeby znaleźć ten konkretny punkt który jest równy temu nachyleniowi prostej a i b.

Nie, ten wzór nie służy do znajdowania punktu.

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 18:53To znaczy to \(\displaystyle{ f'(c)}\) to ma być po prostu równość która stwierdza że istnieje taka pochodną która jest równa temu nachyleniu.

Pochodna nie jest równa nachyleniu, pochodna opisuje nachylenie (dokładniej: wartość pochodnej \(\displaystyle{ f'}\) w punkcie \(\displaystyle{ c}\) jest współczynnikiem kierunkowym prostej stycznej do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ (c,f(c))}\)).

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 18:53 To znaczy trochę to jest mylne jak widzę znak pochodnej \(\displaystyle{ f'(c)}\) i tą równość bo w jednym to mamy wzór na pochodną funkcji w punkcie a potem mam jakiś wzór bardzo podobną do pochodnej ale bez granicy. Czyli \(\displaystyle{ f'(c)}\)
Mam uznać za coś innego niż pochodną ? Trochę ciężko jest mi się wysłowić jak dobrze napisać różnicę między \(\displaystyle{ f'(c)}\) w kontekście liczenia pochodnej a \(\displaystyle{ f'(c)}\) w kontekście tego że istnieje takie "c". Ponieważ w jednym jak i w drugim mam pochodną i znak równości.

To, że jest to dla Ciebie mylne wynika z braków Twojej wiedzy. Co Ci mam więcej napisać?

JK

Xenon02 · Post autor: **Xenon02** » 9 sty 2023, o 20:32

Jan Kraszewski pisze: ↑9 sty 2023, o 19:20 No i co z tego?

To było odniesienie ogólnie tego czy rozumiem granicę, i sądzę że chyba okej ją rozumiem. Oraz dodałem tam moją obserwację że skoro \(\displaystyle{ \Delta x}\) zmierza do 0 to i również \(\displaystyle{ \Delta y}\) też zmierza do zera prawda ? Więc \(\displaystyle{ \Delta x}\) i \(\displaystyle{ \Delta y}\) mają bardzo małe wartości jeśli dobrze to rozumiem.

Jan Kraszewski pisze: ↑9 sty 2023, o 19:20 Policz sobie.

Właśnie nie do końca wiem jak.
Mógłbym strikte z definicji ale nie widzę tego jak \(\displaystyle{ \Delta y}\) jest większa od \(\displaystyle{ \Delta x}\)

Tutaj taki przykład z liczenia tego z definicji :

Jednakże nie potrafię sobie wyobrazić że skoro \(\displaystyle{ \Delta x}\) i \(\displaystyle{ \Delta y}\) dążą do zera i oboje mają bardzo małe wartości to i tak mogę mieć "duże" wyniki.

Jan Kraszewski pisze: ↑9 sty 2023, o 19:20 No i co z tego? Taki iloraz może być bardzo duży.

Okej tylko czemu akurat w tej różnicy która dąży do zera dla x jak i dla y. To czemu ich iloraz jest duży ?

Jan Kraszewski pisze: ↑9 sty 2023, o 19:20 Nie, ten wzór nie służy do znajdowania punktu.

To jak nie do znajdowania punktu "c" to do czego ?

Jan Kraszewski pisze: ↑9 sty 2023, o 19:20 Pochodna nie jest równa nachyleniu, pochodna opisuje nachylenie (dokładniej: wartość pochodnej f′ w punkcie c jest współczynnikiem kierunkowym prostej stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (c,f(c))).

(Nie wiem czemu to się tak psuje i nie wiem jak to naprawić).
Dobra czyli dla przykładu mam \(\displaystyle{ f(x) = x^2}\) jest to która jest równa \(\displaystyle{ x^2}\), czyli jej równość opisuje wartość funkcji w punkcie \(\displaystyle{ x}\)
Pochodna tej funkcji to \(\displaystyle{ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\), więc opisuje wartość funkcji \(\displaystyle{ f'}\) w punkcie \(\displaystyle{ x}\) gdzie ta wartość funkcji mówi o nachyleniu funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\)

To czemu stwierdzenie że pochodna jest równa nachyleniu jest błędna ?
Mam lekkie problemy z czytaniem ze zrozumieniem bo trochę nie widzę różnicy, przepraszam z góry ;D

Ostatnią rzeczą jest coś takiego : \(\displaystyle{ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\), no I mamy \(\displaystyle{ f'(c)}\) która jest pochodną, ale teraz ta równość nie opisuje wartość funkcji \(\displaystyle{ f'}\) w punkcie \(\displaystyle{ c}\) ? Bo to nie jest pochodna jak dobrze wtedy tam napisałem.

Bo jeśli to : \(\displaystyle{ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\) nie jest wzorem na pochodną funkcji w takim razie podstawiam coś takiego :

\(\displaystyle{ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\) oraz \(\displaystyle{ f'(c) =\lim_{h \to 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}}\) więc : \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\)

Chociaż nie wiem czy to ma sens, bo skoro to : \(\displaystyle{ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\) nie jest wzorem na pochodną funkcji, a to : \(\displaystyle{ f'(c) =\lim_{h \to 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}}\) jest wzorem na pochodną funkcji. To też nie wiem czy to co zapisałem tutaj jest okej : \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\) ponieważ nie mam tutaj po lewej stronie równania tej różnicy (b-a). No i funkcje wyglądają prawie identycznie.

Przepraszam ale leciutko się pogubiłem, mógłbyś mi pomóc to jakoś poukładać w jedną całość, prosiłbym bardzo.

Jan Kraszewski pisze: ↑9 sty 2023, o 19:20 To, że jest to dla Ciebie mylne wynika z braków Twojej wiedzy. Co Ci mam więcej napisać?

Liczyłem na jakieś złote myśli które mogłyby mnie naprowadzić do tego jak rozróżnić co jest pochodną a co nie.
Uznaję cię za bardziej doświadczoną osobę ode mnie, stąd była moja prośba

Post autor: **Jan Kraszewski** » 9 sty 2023, o 21:25

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 20:32 Tutaj taki przykład z liczenia tego z definicji :

Jednakże nie potrafię sobie wyobrazić że skoro \(\displaystyle{ \Delta x}\) i \(\displaystyle{ \Delta y}\) dążą do zera i oboje mają bardzo małe wartości to i tak mogę mieć "duże" wyniki.

No i co ja Ci poradzę na to, że Twoja wyobraźnie sobie z tym nie radzi?

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 20:32 Okej tylko czemu akurat w tej różnicy która dąży do zera dla x jak i dla y. To czemu ich iloraz jest duży ?

Sam pokazałeś rachunek - czego w nim nie rozumiesz?

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 20:32 To jak nie do znajdowania punktu "c" to do czego ?

Do tego, żeby wiedzieć, że takie \(\displaystyle{ c}\) istnieje.

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 20:32 Dobra czyli dla przykładu mam \(\displaystyle{ f(x) = x^2}\) jest to która jest równa \(\displaystyle{ x^2}\), czyli jej równość opisuje wartość funkcji w punkcie \(\displaystyle{ x}\)
Pochodna tej funkcji to \(\displaystyle{ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\), więc opisuje wartość funkcji \(\displaystyle{ f'}\) w punkcie \(\displaystyle{ x}\) gdzie ta wartość funkcji mówi o nachyleniu funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\)

To czemu stwierdzenie że pochodna jest równa nachyleniu jest błędna ?

Pochodna w punkcie jest liczbą. A co to jest "nachylenie funkcji"?

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 20:32 Ostatnią rzeczą jest coś takiego : \(\displaystyle{ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\), no I mamy \(\displaystyle{ f'(c)}\) która jest pochodną, ale teraz ta równość nie opisuje wartość funkcji \(\displaystyle{ f'}\) w punkcie \(\displaystyle{ c}\) ? Bo to nie jest pochodna jak dobrze wtedy tam napisałem.

Nieprawda. To jest wartość pochodnej funkcji \(\displaystyle{ f}\) dla argumentu \(\displaystyle{ c}\).

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 20:32 Bo jeśli to : \(\displaystyle{ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\) nie jest wzorem na pochodną funkcji w takim razie podstawiam coś takiego :

\(\displaystyle{ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\) oraz \(\displaystyle{ f'(c) =\lim_{h \to 0}\frac{f(c+h)f(c)}{h}}\) więc : \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0}\frac{f(c+h)f(c)}{h} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\)

Chociaż nie wiem czy to ma sens, bo skoro to : \(\displaystyle{ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\) nie jest wzorem na pochodną funkcji, a to : \(\displaystyle{ f'(c) =\lim_{h \to 0}\frac{f(c+h)f(c)}{h}}\) jest wzorem na pochodną funkcji. To też nie wiem czy to co zapisałem tutaj jest okej : \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0}\frac{f(c+h)f(c)}{h} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\) ponieważ nie mam tutaj po lewej stronie równania tej różnicy (b-a). No i funkcje wyglądają prawie identycznie.

Przepraszam ale leciutko się pogubiłem, mógłbyś mi pomóc to jakoś poukładać w jedną całość, prosiłbym bardzo.

Ale co chcesz układać w jedną całość? Żonglujesz bez większego sensu wzorami i czego oczekujesz?

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 20:32Liczyłem na jakieś złote myśli które mogłyby mnie naprowadzić do tego jak rozróżnić co jest pochodną a co nie.

Sorry Winnetou, to tak nie działa. Złote myśli nie nauczą Cię matematyki.

JK

Xenon02 · Post autor: **Xenon02** » 9 sty 2023, o 21:44

Jan Kraszewski pisze: ↑9 sty 2023, o 21:25 No i co ja Ci poradzę na to, że Twoja wyobraźnie sobie z tym nie radzi?

To skąd mam wiedzieć że tak jest ?

Jan Kraszewski pisze: ↑9 sty 2023, o 21:25 Sam pokazałeś rachunek - czego w nim nie rozumiesz?

No nie rozumiem tego dlaczego to tak wychodzi.
Czemu akurat wychodzi jakaś normalna liczba a nie jakaś bardzo mała. Bo mnie męczy fakt że \(\displaystyle{ \Delta y}\) jest bardzo mała, ale pochodna i tak wychodzi całkiem duża.

Jan Kraszewski pisze: ↑9 sty 2023, o 21:25 Do tego, żeby wiedzieć, że takie c istnieje.

A nie da się policzyć co to jest za konkretne "c" ?

Jan Kraszewski pisze: ↑9 sty 2023, o 21:25 Pochodna w punkcie jest liczbą. A co to jest "nachylenie funkcji"?

Pochodna w punkcie daje mi wzór, a pod ten wzór wstawiam tą liczbę czyli ten konkretny punkt i dostaję potem znowu liczbę.
A nachylenie funkcji w punkcie oznacza jak szybko się zmienia ? Czy jakoś tak ?

Jan Kraszewski pisze: ↑9 sty 2023, o 21:25 Nieprawda. To jest wartość pochodnej funkcji f dla argumentu c

Czekaj.
To w takim razie to jest prawda :

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 20:32 (Nie wiem czemu to się tak psuje i nie wiem jak to naprawić).
Dobra czyli dla przykładu mam \(\displaystyle{ f(x) = x^2}\) jest to która jest równa \(\displaystyle{ x^2}\), czyli jej równość opisuje wartość funkcji w punkcie \(\displaystyle{ x}\)
Pochodna tej funkcji to \(\displaystyle{ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\), więc opisuje wartość funkcji \(\displaystyle{ f'}\) w punkcie \(\displaystyle{ x}\) gdzie ta wartość funkcji mówi o nachyleniu funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\)

I to mówi o tym ta pochodna \(\displaystyle{ f'(x)}\) że wartość funkcji \(\displaystyle{ f'}\) w punkcie \(\displaystyle{ x}\) I mówi o nachyleniu funkcji .

A tutaj :

\(\displaystyle{ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\)

To już mówimy o wartości \(\displaystyle{ f}\) ? Pomimo że tam jest symbol \(\displaystyle{ f'(c)}\) ?

Nie rozumiem.

Jan Kraszewski pisze: ↑9 sty 2023, o 21:25 Ale co chcesz układać w jedną całość? Żonglujesz bez większego sensu wzorami i czego oczekujesz?

Wiem że żongluję tymi wzorami ponieważ nie za bardzo rozumiem tego. Pomimo że dałem pewne odpowiedzi ale nie potrafię jakby zrozumieć jak patrzeć na te symbole \(\displaystyle{ f'(x)}\) albo \(\displaystyle{ f'(c)}\), bo potem to całkują tak jakby to \(\displaystyle{ f'(c)}\) była pochodną, ale wzór na pochodną jest taka : \(\displaystyle{ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\), a tam jest coś takiego : \(\displaystyle{ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\) no i jakoś traktuje to \(\displaystyle{ f'(c)}\) jakby to była pochodna ale jak może nią być skoro ma inny wzór.

Przepraszam, bo się powtarzam i zauważyłem to że się powtarzam.
Przepraszam też z góry jeśli za bardzo pana denerwuję, nie chciałem panu za bardzo psuć dnia, moimi problemami.

Ale żongluję tymi wzorami gdyż lekko się pogubiłem i nie wiem jak to chronologicznie to poukładać i nie mylić symboli i ich interpretacji.
Jest mi to bardzo potrzebne do zrozumienia całki, od czego zaczął się ten temat.

Wiem że proszę o dużo, albo proszę o dalszą pomoc w poprowadzeniu mnie do olśnienia w tym temacie

PS.
Żongluję tymi wzorami, ponieważ próbuję znaleźć jakichś korelacji, albo związku między nimi. Albo dlaczego coś jest traktowane jako pochodna pomimo że nią nie jest ale i tak korzysta z tego symbolu, albo czy ten znak równości oznacza że symbol \(\displaystyle{ f'(x)}\) jest funkcją czy jest jakimś punktem "c" który nie jest pochodną.

Jeszcze raz przepraszam za mój brak wiedzy.

Jan Kraszewski pisze: ↑9 sty 2023, o 21:25 Sorry Winnetou, to tak nie działa. Złote myśli nie nauczą Cię matematyki.

Wiem ...
Ale liczyć zawsze można prawda

Wiem że liczenie nauczy mnie najlepiej matematyki, lecz nie chcę liczyć tak bez rozumienia, albo jak czytam książki z matematyki tam głównie tłumaczone są rzeczy wzorami. Wiem że tak już jest i tyle, jednakże chciałem spróbować swoich sił w zrozumieniu tematu.

Dziękuję i pozdrawiam

Post autor: **Jan Kraszewski** » 9 sty 2023, o 22:32

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 21:44To skąd mam wiedzieć że tak jest ?

Masz rachunek.

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 21:44 No nie rozumiem tego dlaczego to tak wychodzi.
Czemu akurat wychodzi jakaś normalna liczba a nie jakaś bardzo mała.

Litości... Masz rachunek, czego nie rozumiesz w tym rachunku?

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 21:44A nie da się policzyć co to jest za konkretne "c" ?

Twierdzenie jest ogólne, dotyczy dowolnej (dostatecznie porządnej) funkcji, więc nie mówi, jak policzyć to \(\displaystyle{ c}\).

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 21:44Pochodna w punkcie daje mi wzór, a pod ten wzór wstawiam tą liczbę czyli ten konkretny punkt i dostaję potem znowu liczbę.
A nachylenie funkcji w punkcie oznacza jak szybko się zmienia ? Czy jakoś tak ?

Dopóki nie zdefiniujesz precyzyjnie pojęcia "nachylenie funkcji", to nie możesz mówić, że pochodna w punkcie jest nachyleniem funkcji. Ale możesz spokojnie powiedzieć, że służy do opisania nachylenia funkcji.

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 21:44 To w takim razie to jest prawda :
(...)
A tutaj :

\(\displaystyle{ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\)

To już mówimy o wartości \(\displaystyle{ f}\) ? Pomimo że tam jest symbol \(\displaystyle{ f'(c)}\) ?

Nie wiem, o co Ci chodzi, ale zacytuję jeszcze raz tekst, który linkowałeś: "if you have a “smooth” function with no sudden bends or kinks, then over any interval the derivative will be equal to the average slope at least once." O tym właśnie mówimy.

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 21:44nie potrafię jakby zrozumieć jak patrzeć na te symbole \(\displaystyle{ f'(x)}\) albo \(\displaystyle{ f'(c)}\), bo potem to całkują tak jakby to \(\displaystyle{ f'(c)}\) była pochodną, ale wzór na pochodną jest taka : \(\displaystyle{ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\), a tam jest coś takiego : \(\displaystyle{ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\) no i jakoś traktuje to \(\displaystyle{ f'(c)}\) jakby to była pochodna ale jak może nią być skoro ma inny wzór.

Wzór \(\displaystyle{ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\) definiuje pochodną funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ x}\). Funkcja, która liczbie rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) przypisuje pochodną funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ x}\) nazywa się funkcją pochodną funkcji \(\displaystyle{ f}\) (w skrócie: pochodną funkcji \(\displaystyle{ f}\)) i oznaczana jest jako \(\displaystyle{ f'}\). Zatem \(\displaystyle{ f'(c)}\) jest wartością pochodnej funkcji \(\displaystyle{ f}\) dla argumentu \(\displaystyle{ c}\). Natomiast wzór jest związany z twierdzeniem o wartości średniej, które opisuje pewną własność pewnych (dostatecznie porządnych) funkcji i nie jest używany do wyznaczania pochodnej. Nie jest też prawdą, że "potem to całkują" - potem używają twierdzenia o wartości średniej do funkcji pierwotnej funkcji \(\displaystyle{ f}\).

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 21:44Wiem że proszę o dużo, albo proszę o dalszą pomoc w poprowadzeniu mnie do olśnienia w tym temacie

Nie spodziewałbym się. Jak się ma takie duże braki w rozumieniu pojęć, to nie wystarczy kilka wpisów na forum - tłumaczyłem Ci to już w innym wątku.

JK

Xenon02 · Post autor: **Xenon02** » 9 sty 2023, o 23:44

Jan Kraszewski pisze: ↑9 sty 2023, o 22:32 Litości... Masz rachunek, czego nie rozumiesz w tym rachunku?

Tak mam rachunek, nawet dałem tam przykład.
Tylko nie wiem czemu to działa, czemu to tak wychodzi. Nie mam na myśli dowodu że granica, itp. Mam na myśli jak to "wygląda".

Może inaczej. Zgodzisz się ze mną że różnice x oraz y dążą do zera, czyli do momentu gdzie ta różnica jest prawie zero.
Prawdą jest że \(\displaystyle{ \Delta y}\) jest małą liczbą ? Bo dąży do zera ? Prawdą jest że \(\displaystyle{ \Delta x}\) jest małą liczbą i dąży do zera ? To jak zaobserwować to że ich iloraz jest dużą liczbą tak jak to wychodzi z definicji.

Czy da się zrobić jakoś funkcję gdzie mogę sprawdzić jak szybko zmniejsza się \(\displaystyle{ \Delta x}\) i \(\displaystyle{ \Delta y}\) w tym samym czasie ? Bo to oznacza że \(\displaystyle{ \Delta y}\) jest większa od \(\displaystyle{ \Delta x}\), tylko nie wiem dlaczego. Z definicji to one się skracają i nie wiem co się dzieje z \(\displaystyle{ \Delta y}\). Z obrazków to tylko widzę że one się zmniejszają \(\displaystyle{ \Delta y}\) jak i też \(\displaystyle{ \Delta x}\).

Jan Kraszewski pisze: ↑9 sty 2023, o 22:32 Twierdzenie jest ogólne, dotyczy dowolnej (dostatecznie porządnej) funkcji, więc nie mówi, jak policzyć to c

Na Khan Academy tam liczyli właśnie ten punkt "c" z tego wzoru co podawałem czyli \(\displaystyle{ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\)
Dlatego się tak zastanawiałem.

Jan Kraszewski pisze: ↑9 sty 2023, o 22:32 Dopóki nie zdefiniujesz precyzyjnie pojęcia "nachylenie funkcji", to nie możesz mówić, że pochodna w punkcie jest nachyleniem funkcji. Ale możesz spokojnie powiedzieć, że służy do opisania nachylenia funkcji.

No to dla przykładu gdzie miałem \(\displaystyle{ f(x) = x^2}\), to jej pochodna jest równa \(\displaystyle{ f'(x) = 2x}\), w punkcie \(\displaystyle{ x = 2}\) mam że \(\displaystyle{ f'(2) = 4}\), więc nachylenie funkcji w punkcie x = 2 wynosi 4. Co to mi dokładnie mówi, nic za dużo.
Więc nie wiem do czego innego mógłby służyć pochodna funkcji niż do policzenia nachylenia. Więc dlaczego zdanie "pochodna w punkcie jest nachyleniem funkcji" jest nieprawidłowa ?

Jan Kraszewski pisze: ↑9 sty 2023, o 22:32 Wzór \(\displaystyle{ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\) definiuje pochodną funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ x}\). Funkcja, która liczbie rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) przypisuje pochodną funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ x}\) nazywa się funkcją pochodną funkcji \(\displaystyle{ f}\) (w skrócie: pochodną funkcji \(\displaystyle{ f}\)) i oznaczana jest jako \(\displaystyle{ f'}\). Zatem \(\displaystyle{ f'(c)}\) jest wartością pochodnej funkcji \(\displaystyle{ f}\) dla argumentu \(\displaystyle{ c}\). Natomiast wzór jest związany z twierdzeniem o wartości średniej, które opisuje pewną własność pewnych (dostatecznie porządnych) funkcji i nie jest używany do wyznaczania pochodnej. Nie jest też prawdą, że "potem to całkują" - potem używają twierdzenia o wartości średniej do funkcji pierwotnej funkcji \(\displaystyle{ f}\).

Ten pierwszy wzór jaki zapisałeś definiuje pochodną funkcji f w punkcie "x" który może być dowolny a wraz z tym wartość tej pochodnej też może być inna.
Natomiast ten drugi wzór nie służy do liczenia pochodnej. Ale coś zauważyłem, taką różnicę między obiema funkcjami. Bo ta równość rzeczywiście nie mogłaby opisywać funkcji w punkcie "c" jak po znaku równości tam nie ma nawet nic związanego z punktem "c", jak dobrze rozumiem, natomiast w pierwszej funkcji po znaku równości tam jest wykorzystywany punkt "x" z \(\displaystyle{ f'(x)}\), wiem pokrętna logika. Mówię bardzo mylące jest to że ten drugi wzór : \(\displaystyle{ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\) jest strasznie podobny do wzoru na pochodną funkcji. Ale okej może moja pokrętna logika ma jakiś sens. Nie wiem. Wiem tylko tyle że tutaj \(\displaystyle{ f'(c)}\) jest pochodną funkcji "c" ale się go liczy z tego klasycznego wzoru, natomiast ta równość mówi tylko tyle że istnieje taka pochodna w punkcie "c" która jest równa nachyleniu prostej przecinającej a i b. Czyli ogółem nie traktować tego jako wzoru na pochodną

Tak ogółem to co możemy wyznaczyć z tej równości : \(\displaystyle{ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\) ?

Używają to twierdzenie do funkcji pierwotnej ? No czyli całkują obustronnie to równanie. Tylko nie wiem czemu to interpretują jako prostokąty, skoro ta prosta może być krzywa pomiędzy punktem a i b, a obliczenie tej pochodnej w punkcie "c" też trzeba wyznaczyć z tego klasycznego wzoru.

Jan Kraszewski pisze: ↑9 sty 2023, o 22:32 Nie spodziewałbym się. Jak się ma takie duże braki w rozumieniu pojęć, to nie wystarczy kilka wpisów na forum - tłumaczyłem Ci to już w innym wątku.

Ale czemu już tak negatywnie ;<
No dobra nie należę do tych najbystrzejszych. Nawet nie wiem jakie mam braki. Chciałbym je nadrobić tylko nie wiem co i nie wiem jakie. Potrzebowałbym też czasu a potrzebuję szybkiej nauki bo mnie czas tylko goni.

Pozdrawiam i dziękuję.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 9 sty 2023, o 23:54

Jak `x=h` a `y=7h`, i `h` dąży do zera, to `y/x` dąży do???
A jak `y=2023h`
A jak `y=-100000000h`?

Naprawde dalej cię to dziwi?

Post autor: **Jan Kraszewski** » 10 sty 2023, o 00:19

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 23:44Może inaczej. Zgodzisz się ze mną że różnice x oraz y dążą do zera, czyli do momentu gdzie ta różnica jest prawie zero.
Prawdą jest że \(\displaystyle{ \Delta y}\) jest małą liczbą ? Bo dąży do zera ? Prawdą jest że \(\displaystyle{ \Delta x}\) jest małą liczbą i dąży do zera ? To jak zaobserwować to że ich iloraz jest dużą liczbą tak jak to wychodzi z definicji.

Policzyć. Już Ci a4karo odpowiedział.

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 23:44 Na Khan Academy tam liczyli właśnie ten punkt "c" z tego wzoru co podawałem czyli \(\displaystyle{ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\)

Jak?

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 23:44No to dla przykładu gdzie miałem \(\displaystyle{ f(x) = x^2}\), to jej pochodna jest równa \(\displaystyle{ f'(x) = 2x}\), w punkcie \(\displaystyle{ x = 2}\) mam że \(\displaystyle{ f'(2) = 4}\), więc nachylenie funkcji w punkcie x = 2 wynosi 4. Co to mi dokładnie mówi, nic za dużo.

Stwierdzenie "nachylenie funkcji w punkcie \(\displaystyle{ x = 2}\) wynosi \(\displaystyle{ 4}\)" nic nie mówi, bo nie powiedziałeś, co to jest "nachylenie funkcji". Ale jeżeli powiesz, że \(\displaystyle{ 4}\) to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ x=2}\), to już mówi.

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 23:44Więc dlaczego zdanie "pochodna w punkcie jest nachyleniem funkcji" jest nieprawidłowa ?

Już Ci to tłumaczyłem.

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 23:44Używają to twierdzenie do funkcji pierwotnej ? No czyli całkują obustronnie to równanie.

Nie.

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 23:44Tylko nie wiem czemu to interpretują jako prostokąty, skoro ta prosta może być krzywa pomiędzy punktem a i b, a obliczenie tej pochodnej w punkcie "c" też trzeba wyznaczyć z tego klasycznego wzoru.

I oczekujesz, że zrobię Ci wykład z Zasadniczego twierdzenia rachunku całkowego?

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 23:44Potrzebowałbym też czasu a potrzebuję szybkiej nauki bo mnie czas tylko goni.

No i to jest Twój problem - chciałbyś to magicznie zrozumieć, bo czas Cię goni. A to nie Hogwart, niestety...

JK

Xenon02 · Post autor: **Xenon02** » 10 sty 2023, o 15:11

Jan Kraszewski pisze: ↑10 sty 2023, o 00:19 Policzyć. Już Ci a4karo odpowiedział.

Dobra chyba rzeczywiście tak jest sobie zrobiłem coś takiego :

Albo jeszcze mniejsza różnica :

Chociaż czasami miałem result 0, ale nie wiem.
Ogółem to jak miałem (3)^2 to miałem 9 a np (3.1)^2 to miałem 9.61 więc różnica to 0.61 a dla "x" to jak miałem (3) i (3.1) to różnica jest 0.1 więc stosunek to 6.1. A jak zmniejszałem tą różnicę to zawsze miałem 9 - 9.00000060000 i gdzieś tam ta szóstka jest. Więc rzeczywiście, dziękuję za rozjaśnienie tego tematu, ciężko mi było to zrozumieć, ale lepiej to teraz rozumiem.

Jan Kraszewski pisze: ↑10 sty 2023, o 00:19 Jak?

Pod koniec tego filmiku

Kod: Zaznacz cały

www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-diff-analytical-applications-new/ab-5-1/v/finding-where-the-derivative-is-equal-to-the-average-change

Tam liczyli ten punkt "c".

Jan Kraszewski pisze: ↑10 sty 2023, o 00:19
Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 23:44No to dla przykładu gdzie miałem \(\displaystyle{ f(x) = x^2}\), to jej pochodna jest równa \(\displaystyle{ f'(x) = 2x}\), w punkcie \(\displaystyle{ x = 2}\) mam że \(\displaystyle{ f'(2) = 4}\), więc nachylenie funkcji w punkcie x = 2 wynosi 4. Co to mi dokładnie mówi, nic za dużo.
Stwierdzenie "nachylenie funkcji w punkcie \(\displaystyle{ x = 2}\) wynosi \(\displaystyle{ 4}\)" nic nie mówi, bo nie powiedziałeś, co to jest "nachylenie funkcji". Ale jeżeli powiesz, że \(\displaystyle{ 4}\) to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ x=2}\), to już mówi.

To nachylenie funkcji wziąłem z tego z tej analogi "pochodna mówi jak stromy jest funkcja w danym punkcie" więc sądziłem że nachylenie funkcji będzie dobrym opisem.
Oraz zastanawiałem się nad czym co powiedziałeś, że może być zastosowana do tego żeby wyznaczyć nachylenie funkcji. Do czego innego może służyć pochodna funkcji ? Albo raczej jakie może być jego inna interpretacja ?

Bo zazwyczaj to :
- pochodna \(\displaystyle{ f'(x)}\) to mówi o współczynniku kierunkowym czyli jak bardzo stromy jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) w punkcie "x"
- całka nieoznaczona jak dobrze zrozumiałem jest odwrotnością, ale jak się go wyliczy to jego wynik mówi mi o funkcji pierwotnej, czyli np \(\displaystyle{ f(x) = x^2}\) to \(\displaystyle{ F(x) = \frac{x^3}{3}+C}\), I to jest rodzina funkcji. Ale co to dokładnie oznacza dla \(\displaystyle{ f(x)}\) ?

Pochodna ma jakieś znaczenie dla \(\displaystyle{ f(x)}\) czyli jak stromy jest \(\displaystyle{ f(x)}\) w jakimś punkcie a całka nieoznaczona to \(\displaystyle{ F(x)}\) nie ma żadnego znaczenia dla \(\displaystyle{ f(x)}\), mam na myśli to że jak podam punkt jakiś do \(\displaystyle{ F(x)}\) to nic nie oznacza dla \(\displaystyle{ f(x)}\). Na pewno się mylę bo wiem że różnica nieoznaczonej całki mówi o polu, ale sama pojedyncza całka nieoznaczona coś znaczy ? Że jak podam punkt do \(\displaystyle{ F(x)}\) i policzę to czy coś to oznacza dla \(\displaystyle{ f(x)}\) jak to jest w przypadku z policzeniem tego samego punktu do policzenia w \(\displaystyle{ F(x)}\) tylko że w \(\displaystyle{ f'(x)}\) ?

Jan Kraszewski pisze: ↑10 sty 2023, o 00:19 Nie.

Mógłbyś mi pomóc zrozumieć co tam się dzieje ?

Jan Kraszewski pisze: ↑10 sty 2023, o 00:19 I oczekujesz, że zrobię Ci wykład z Zasadniczego twierdzenia rachunku całkowego?

Niczego więcej nie oczekuję niż pomocy

Próbuję nauczyć się właśnie rozumieć to co liczę. Bo umiem liczyć takie rzeczy w praktyce, ale nigdy nie potrafiłem zrozumieć dlaczego to działało, albo dlaczego to musi działać

A ten problem zaczął się wraz z fizycznymi zjawiskami, więc chciałem zrozumieć matematyczne rzeczy i ich interpretacje.

Jan Kraszewski pisze: ↑10 sty 2023, o 00:19 No i to jest Twój problem - chciałbyś to magicznie zrozumieć, bo czas Cię goni. A to nie Hogwart, niestety...

W Hogwartcie też nie było zaklęcia/mikstury która by to ułatwiła o ile mnie pamięć nie myli ;D

PS.
Czyli to bredzenie nieformalne tutaj :

Xenon02 pisze: ↑9 sty 2023, o 23:44
Ten pierwszy wzór jaki zapisałeś definiuje pochodną funkcji f w punkcie "x" który może być dowolny a wraz z tym wartość tej pochodnej też może być inna.
Natomiast ten drugi wzór nie służy do liczenia pochodnej. Ale coś zauważyłem, taką różnicę między obiema funkcjami. Bo ta równość rzeczywiście nie mogłaby opisywać funkcji w punkcie "c" jak po znaku równości tam nie ma nawet nic związanego z punktem "c", jak dobrze rozumiem, natomiast w pierwszej funkcji po znaku równości tam jest wykorzystywany punkt "x" z \(\displaystyle{ f'(x)}\), wiem pokrętna logika. Mówię bardzo mylące jest to że ten drugi wzór : \(\displaystyle{ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\) jest strasznie podobny do wzoru na pochodną funkcji. Ale okej może moja pokrętna logika ma jakiś sens. Nie wiem. Wiem tylko tyle że tutaj \(\displaystyle{ f'(c)}\) jest pochodną funkcji "c" ale się go liczy z tego klasycznego wzoru, natomiast ta równość mówi tylko tyle że istnieje taka pochodna w punkcie "c" która jest równa nachyleniu prostej przecinającej a i b. Czyli ogółem nie traktować tego jako wzoru na pochodną

Tak ogółem to co możemy wyznaczyć z tej równości : \(\displaystyle{ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\) ?

Używają to twierdzenie do funkcji pierwotnej ? No czyli całkują obustronnie to równanie. Tylko nie wiem czemu to interpretują jako prostokąty, skoro ta prosta może być krzywa pomiędzy punktem a i b, a obliczenie tej pochodnej w punkcie "c" też trzeba wyznaczyć z tego klasycznego wzoru.

Ma jakiś sens ?

Ponieważ zauważyłem że jak podam "x" do \(\displaystyle{ f'(x)}\) to mam wzór w klasycznym wzorze gdzie policzę tą pochodną w punkcie a w przykładzie z \(\displaystyle{ f'(c)}\) jak podam "c" do \(\displaystyle{ f'(c)}\) to w wzorze nie wykorzystuję tą zmienną więc nie może ona liczyć pochodnej w punkcie bo nie ma nigdzie tej litery, a w klasycznym wzorze jest wykorzystywana ta zmienna "x".

Pozdrawiam w tej deszczowej pogodzie

Dodano po 7 godzinach 26 minutach 8 sekundach:

Jan Kraszewski pisze: ↑10 sty 2023, o 00:19 Już Ci to tłumaczyłem.

Chodzi ci o to tłumaczenie ?

Jan Kraszewski pisze: ↑10 sty 2023, o 00:19 Stwierdzenie "nachylenie funkcji w punkcie \(\displaystyle{ x = 2}\) wynosi \(\displaystyle{ 4}\)" nic nie mówi, bo nie powiedziałeś, co to jest "nachylenie funkcji". Ale jeżeli powiesz, że \(\displaystyle{ 4}\) to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ x=2}\), to już mówi.

A i czy w tym co napisałem wyżej mam trochę racji ?
I czy moje bredzenie o tych literkach ma sens

?

Pozdrawiam i przepraszam za ten dopisek

Dodano po 5 dniach 21 godzinach 33 minutach 14 sekundach:
Witam !

Dalej mam jednak z tym problemy.

Ponieważ dalej próbuję zrozumieć to : \(\displaystyle{ ]f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\) oraz \(\displaystyle{ f'(x) =\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\).
Próbowałem to zrozumieć na takiej zasadzie że mam funkcję \(\displaystyle{ f(x) = 4x -1}\) i to jest moja funkcja, więc teraz jak napiszę \(\displaystyle{ f(x) = 2 }\), to nie sprawiam że zmieniam moją zdefiniowaną funkcję \(\displaystyle{ f(x) = 4x -1}\) prawda ? Ponieważ \(\displaystyle{ f(x) = 2 }\) też jest funkcją ale stałą a to \(\displaystyle{ f(x) = 4x -1}\) jest liniowe. Tylko po prostu dwa razy użyłem tego samego symbolu \(\displaystyle{ f(x)}\). Więc też nie wiem czy to dobrze zrozumiałem że muszę zdefiniować \(\displaystyle{ f(x)}\) jako jakaś konkretna funkcja, więc jak znowu użyję tego symbolu \(\displaystyle{ f(x)}\) np \(\displaystyle{ f(x) = 2 }\) to czy teraz nadpisałem tą funkcję ? Czy zmieniłem to jak się liczy to \(\displaystyle{ f(x)}\) ? Pomimo że wcześniej \(\displaystyle{ f(x)}\) się liczyło tak : \(\displaystyle{ f(x) = 4x -1}\) ? Przepraszam za tak głupie pytanie, lecz jeśli to nie jest zrozumiałem spróbuję lepiej obiecuję.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 16 sty 2023, o 20:52

Xenon02 pisze: ↑16 sty 2023, o 20:10Próbowałem to zrozumieć na takiej zasadzie że mam funkcję \(\displaystyle{ f(x) = 4x -1}\) i to jest moja funkcja, więc teraz jak napiszę \(\displaystyle{ f(x) = 2 }\), to nie sprawiam że zmieniam moją zdefiniowaną funkcję \(\displaystyle{ f(x) = 4x -1}\) prawda ? Ponieważ \(\displaystyle{ f(x) = 2 }\) też jest funkcją ale stałą a to \(\displaystyle{ f(x) = 4x -1}\) jest liniowe. Tylko po prostu dwa razy użyłem tego samego symbolu \(\displaystyle{ f(x)}\). Więc też nie wiem czy to dobrze zrozumiałem że muszę zdefiniować \(\displaystyle{ f(x)}\) jako jakaś konkretna funkcja, więc jak znowu użyję tego symbolu \(\displaystyle{ f(x)}\) np \(\displaystyle{ f(x) = 2 }\) to czy teraz nadpisałem tą funkcję ? Czy zmieniłem to jak się liczy to \(\displaystyle{ f(x)}\) ? Pomimo że wcześniej \(\displaystyle{ f(x)}\) się liczyło tak : \(\displaystyle{ f(x) = 4x -1}\) ?

A nie prościej byłoby zająć się czymś przyjemnym, np. muzyką?

Jak zdefiniujesz funkcję rzeczywistą zmiennej rzeczywistej wzorem \(\displaystyle{ f(x) = 4x -1}\), to rozpatrujesz właśnie tę funkcję. Jak napiszesz \(\displaystyle{ f(x)=2}\), to może to oznaczać dwie rzeczy:
1) zastanawiasz się nad tym, kiedy zdefiniowana wcześniej funkcja przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 2}\);
2) chcesz rozważać nową funkcję funkcję rzeczywistą zmiennej rzeczywistej: funkcję stałą z wartością \(\displaystyle{ 2}\).
W tym drugim przypadku oznacza to, że zajmujesz się czymś zupełnie innym, niż przed chwilą. W związku z tym użycie tego samego symbolu \(\displaystyle{ f}\) na oznaczenie nowej rozpatrywanej funkcji może prowadzić do nieporozumień (zwłaszcza u osób mniej wprawnych w matematyce). Powinniśmy zatem wyraźnie zaznaczyć, że nasze rozważania nie mają nic wspólnego z poprzednimi albo użyć innego symbolu na oznaczenie nowej funkcji.

JK

PS
Ale ogólnie to co napisałeś to chaos.

Matematyka.pl

Czemu całka liczy pole pod funkcją ?

Re: Czemu całka liczy pole pod funkcją ?

Re: Czemu całka liczy pole pod funkcją ?

Re: Czemu całka liczy pole pod funkcją ?

Re: Czemu całka liczy pole pod funkcją ?

Re: Czemu całka liczy pole pod funkcją ?

Re: Czemu całka liczy pole pod funkcją ?

Re: Czemu całka liczy pole pod funkcją ?

Re: Czemu całka liczy pole pod funkcją ?

Re: Czemu całka liczy pole pod funkcją ?

Re: Czemu całka liczy pole pod funkcją ?

Re: Czemu całka liczy pole pod funkcją ?

Re: Czemu całka liczy pole pod funkcją ?

Re: Czemu całka liczy pole pod funkcją ?

Re: Czemu całka liczy pole pod funkcją ?

Re: Czemu całka liczy pole pod funkcją ?