Nie będę poruszać kwestii terminologii która jest tu kompletnie pomieszana i JK już ją poruszył. Przejdę od razu do Twojego bardzo dobrego pytania. Aby dobrze zrozumieć różnicę musisz uświadomić sobie, że całka oznaczona i nieoznaczona to kompletnie różne byty i nie miały by ze sobą nic wspólnego, gdyby nie
twierdzenie Newtona-Leibniza aka podstawowe twierdzenie rachunku całkowego (choć czasem to ma się na mysli lekko inne twierdzenia, gdy mowa o tych dwóch). Dopiero to twierdzenie łączy i wyjaśnia zależność między całka oznaczoną i nieoznaczoną. Więc w skrócie i dla przypomnienia
\(\displaystyle{ \int_{}^{} f(x)\, \dd x }\)
to całka nieoznaczona i jest zdefiniowana jako funkcja której pochodna będzie
\(\displaystyle{ f}\). Natomiast
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x)\, \dd x }\)
to całka oznaczona i jest zdefiniowana najczęściej przez sumy całkowe Riemanna lub w sensie sensie Darboux.
Dlaczego całka oznaczona wyraża pole?
Bo tak została zdefiniowana. Dokładnie jest to pole znakowane więc to pod osią
\(\displaystyle{ x}\) jest naliczane z minusem.
Xenon02 pisze: ↑8 sty 2023, o 21:14
sprawą jest to że całka zdefiniowana korzysta z różnicy dwóch niezdefiniowanych całek żeby obliczyć pole
I tu właśnie jest potrzebne twierdzenie Newtona-Leibniza. Jego dokładne sformowanie możesz znaleźć w każdej książce czy Internecie więc ja przedstawię jedynie intuicyjny aspekt tego dlaczego całka oznaczona ma coś wspólnego z nieoznaczonymi.
Powiedzmy, że chcemy policzyć
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(\xi )\, \dd \xi. }\)
Pomyślmy o tym trochę ogólniej, rozważamy funkcję
\(\displaystyle{ F}\)
\(\displaystyle{ x\mapsto \int_{a}^{x} f(\xi )\, \dd \xi}\)
jest to funkcja którą ma interpretację geometryczną. Jest to pole
\(\displaystyle{ f}\) na przedziale
\(\displaystyle{ [a,x]}\). Okazuje się, że pochodną tej funkcji w punkcie
\(\displaystyle{ x}\) jest
\(\displaystyle{ f(x)}\). Policzmy pochodną z definicji
\(\displaystyle{ \frac{ \dd }{ \dd x } \int_{a}^{x} f(\xi )\, \dd \xi = \lim_{h \to 0} \frac{ \displaystyle \int_{a}^{x+h} f(\xi )\, \dd \xi - \int_{a}^{x} f(\xi )\, \dd \xi}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{ \displaystyle \int_{x}^{x+h} f(\xi )\, \dd \xi }{h}. }\)
W tym momencie chce się odwołać jedynie do intuicji. Aby policzyć to dalej. Jeśli masz mały przedziałki
\(\displaystyle{ \left[ x,x+h\right] }\) to pole pod funkcją
\(\displaystyle{ f}\) możesz bardzo dobrze przybliżyć prostokątem o polu
\(\displaystyle{ hf(x)}\) czyli długość przedziału razy wysokość. Zatem ta granica powinna i faktycznie wynosi
\(\displaystyle{ f(x)}\). Ten rachunek został wykonany bez żadnych całek nieoznaczonych. Póki co wszystkie całki są oznaczone i myślimy jedynie kategoriami geometrycznymi. Otrzymaliśmy wiec, że
\(\displaystyle{ \frac{ \dd }{ \dd x } \int_{a}^{x} f(\xi )\, \dd \xi =F'(x)=f(x).}\)
Ponad to zauważmy znów odwołując się jedynie do geometrii, że
\(\displaystyle{ \int_{a}^{a} f(\xi )\, \dd \xi=0}\). Zatem
\(\displaystyle{ F(a)=0}\). Jeśli teraz weźmiemy dowolną funkcję pierwotną
\(\displaystyle{ \widetilde{F}}\) dla
\(\displaystyle{ f}\), będzie się ona różnić od
\(\displaystyle{ F}\) o stała (jak to funkcje pierwotne mają w zwyczaju). To znaczy
\(\displaystyle{ F(x)=\widetilde{F}(x)+C}\)
Tyle, że
\(\displaystyle{ C=-\widetilde{F}(a)}\) tak aby
\(\displaystyle{ F(a)=0}\). Zatem
\(\displaystyle{ F(x)=\widetilde{F}(x)-\widetilde{F}(a)}\)
więc kładąc
\(\displaystyle{ x=b}\) mamy
\(\displaystyle{ F(b)=\widetilde{F}(b)-\widetilde{F}(a)}\)
czyli w naszym zapisie z całką
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(\xi )\, \dd \xi=\widetilde{F}(b)-\widetilde{F}(a), }\)
gdzie
\(\displaystyle{ \widetilde{F}}\) to dowolna funkcja pierwotna (bo dowolną wybrałem). Można (choć zrobimy to jedynie tu) zapisać, że
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(\xi )\, \dd \xi=\left( \int_{}^{} f(x)\, \dd x \right) (b)-\left( \int_{}^{} f(x)\, \dd x \right)(a), }\)
gdzie
\(\displaystyle{ \int_{}^{} f(x)\, \dd x }\) to jakaś funkcja pierwotna. A
\(\displaystyle{ \left( \int_{}^{} f(x)\, \dd x \right) (b), \left( \int_{}^{} f(x)\, \dd x \right)(a)}\) to jej ewaluacje. I dopiero tu pojawia się zależność pomiędzy całka oznaczoną i nieoznaczoną.
PS od momentu w którym zacząłem to pisać trochę postów przybyło. Temat zaczyna trochę iść w kierunku formalizacji przejścia granicznego. Tak czy inaczej uważam, że powinieneś najpierw zrozumieć intuicję powyżej, a potem sformalizować o twierdzeniem o wartości średniej.
.