całkowanie stronami

Mateusz12 · Post autor: **Mateusz12** » 17 mar 2023, o 05:10

Witam. Nie rozumiem co tu się stało:
Dla \(\displaystyle{ x_0=\frac{1}{b-a} \int_a^b f }\) , całkując stronami :
\(\displaystyle{ \phi(f(x)) \geq \alpha\left(f(x)-x_0\right)+\phi\left(x_0\right)}\) , otrzymano :
\(\displaystyle{ \int \phi(f) \geq \alpha\left(x_0-x_0\right)(b-a)+(b-a) \phi\left(x_0\right)=(b-a) \phi\left(\frac{1}{b-a} \int_a^b f\right) }\)
Proszę o wytłumaczenie.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 17 mar 2023, o 05:22

A czym jest `\phi`?

Ta ostatnia całka jest od `a` do `b`. Nic się nie stało. To po prostu żonglerka znaczkami.

Mateusz12 · Post autor: **Mateusz12** » 17 mar 2023, o 08:29

\(\displaystyle{ \phi }\) to funkcja wypukła. Ogólnie to chodzi o nierówność Jensena, ale w wersji z całkami.

Post autor: **Dasio11** » 17 mar 2023, o 09:37

Skoro \(\displaystyle{ \phi}\) jest funkcją wypukłą, to dla punktu \(\displaystyle{ x_0}\) można dobrać taki współczynnik \(\displaystyle{ \alpha}\), że \(\displaystyle{ \varphi(y) \ge \varphi(x_0) + \alpha(y-x_0)}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ y}\) (nazywa się to bodajże "prosta podpierająca"). Po prostu napisano tę nierówność dla \(\displaystyle{ y := f(x)}\) i scałkowano od \(\displaystyle{ a}\) do \(\displaystyle{ b}\).

Mateusz12 · Post autor: **Mateusz12** » 17 mar 2023, o 17:12

Tak właśnie, ale miałem problem objąć jak to scałkowano, ostatecznie wszytko jest jasne, dzięki.

Matematyka.pl

całkowanie stronami

całkowanie stronami

Re: całkowanie stronami

Re: całkowanie stronami

Re: całkowanie stronami

Re: całkowanie stronami