całkowanie stronami

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Mateusz12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 17 lut 2023, o 20:26
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

całkowanie stronami

Post autor: Mateusz12 »

Witam. Nie rozumiem co tu się stało:
Dla \(\displaystyle{ x_0=\frac{1}{b-a} \int_a^b f }\) , całkując stronami :
\(\displaystyle{ \phi(f(x)) \geq \alpha\left(f(x)-x_0\right)+\phi\left(x_0\right)}\) , otrzymano :
\(\displaystyle{ \int \phi(f) \geq \alpha\left(x_0-x_0\right)(b-a)+(b-a) \phi\left(x_0\right)=(b-a) \phi\left(\frac{1}{b-a} \int_a^b f\right) }\)
Proszę o wytłumaczenie.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22115
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3737 razy

Re: całkowanie stronami

Post autor: a4karo »

A czym jest `\phi`?

Ta ostatnia całka jest od `a` do `b`. Nic się nie stało. To po prostu żonglerka znaczkami.
Mateusz12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 17 lut 2023, o 20:26
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

Re: całkowanie stronami

Post autor: Mateusz12 »

\(\displaystyle{ \phi }\) to funkcja wypukła. Ogólnie to chodzi o nierówność Jensena, ale w wersji z całkami.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10198
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 2355 razy

Re: całkowanie stronami

Post autor: Dasio11 »

Skoro \(\displaystyle{ \phi}\) jest funkcją wypukłą, to dla punktu \(\displaystyle{ x_0}\) można dobrać taki współczynnik \(\displaystyle{ \alpha}\), że \(\displaystyle{ \varphi(y) \ge \varphi(x_0) + \alpha(y-x_0)}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ y}\) (nazywa się to bodajże "prosta podpierająca"). Po prostu napisano tę nierówność dla \(\displaystyle{ y := f(x)}\) i scałkowano od \(\displaystyle{ a}\) do \(\displaystyle{ b}\).
Mateusz12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 17 lut 2023, o 20:26
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

Re: całkowanie stronami

Post autor: Mateusz12 »

Tak właśnie, ale miałem problem objąć jak to scałkowano, ostatecznie wszytko jest jasne, dzięki.
ODPOWIEDZ