Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \iint_S (xy^2)dydz + (y+ \frac{2}{3}x^2y^3)dxdz + (zx)dxdy}\), gdzie S jest powierzchnią zadaną równaniem \(\displaystyle{ z=1-\sqrt(x^2+y^2)}\) zorientowaną na zewnątrz i \(\displaystyle{ z \ge 0}\)

Stosując twierdzenie gaussa-ostrogradskiego mamy całkę :
\(\displaystyle{ \iiint_V (y^2+1+2x^2y^2+x)dxdydz}\)
Używamy współrzędnych walcowych :
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=r\cos\varphi\\y=r\sin\varphi\\z=z \end{array}}\)

w granicach całkowania:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 0<r<1\\0<\varphi<2\pi\\0<z<1 \end{array}}\)

wiem że powierzchnia nie jest zamknięta, dlatego to zrobiłem aby użyć twierdzenia. I tu moje pytanie, jak policzyć tą powierzchnię? I jeszcze, czy granice całkowania podane do całki potrójnej są dobre?

Powierzchnia jest zamknięta.

Równanie

\(\displaystyle{ z=1-\sqrt{x^2+y^2}}\)

wyznacza stożek o wierzchołku w punkcie \(\displaystyle{ (0,0,1)}\). Stożek ten przecina płaszczyznę \(\displaystyle{ OXY}\) na okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\), co łatwo wyliczyć z podanych warunków.

Wydaje mi się że nie jest zamknięta ponieważ stożek nie jest niczym ograniczony od dołu

Jest ograniczony płaszczyzną \(\displaystyle{ z=0}\). Masz przecież narzucony warunek \(\displaystyle{ z\geq 0}\).

w sumie racja. A teraz gdyby nie była ograniczona od dołu, to jak obliczyć powierzchnię tego koła, żeby potem odjąć ?

Powierzchnię jakiego koła???

I co odejmować od czego? Objętość od powierzchni?