Matematyka.pl

Udowodnić, że \(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(x)}{x} dx < 2}\) i \(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(x)}{x} dx >1.}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{\sin(x)}{x} dx=\int \frac{\sin(x)}{x} dx =\int \frac{ \sum_{i=0}^{ \infty } \frac{(-1)^i}{(2i+1)!}x^{2i+1} }{x} dx=\int \sum_{i=0}^{ \infty } \frac{(-1)^i}{(2i+1)!}x^{2i} dx= \\ = C+\sum_{i=0}^{ \infty } \frac{(-1)^i}{(2i+1)! \cdot (2i+1)}x^{2i+1} }\)

mol_ksiazkowy pisze: ↑31 mar 2024, o 13:12 Udowodnić, że \(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(x)}{x} dx < 2}\)

Ta nierówność nie jest prawdziwa

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(x)}{x} dx = \pi \left[ ( \frac{1}{1! \cdot 1}-\frac{1}{3! \cdot 3} )+( \frac{1}{5! \cdot 5}-\frac{1}{7! \cdot 7} )+( \frac{1}{9! \cdot 9}-\frac{1}{11! \cdot 11} )+ .... \right] > \\ >\pi ( \frac{1}{1! \cdot 1}-\frac{1}{3! \cdot 3} )>3 \cdot \frac{17}{18}=2 \frac{5}{6} }\)

mol_ksiazkowy pisze: ↑31 mar 2024, o 13:12 Udowodnić, że (...) \(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(x)}{x} dx >1.}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(x)}{x} dx = \frac{ \pi }{2}\left[ ( \frac{1}{1! \cdot 1}-\frac{1}{3! \cdot 3} )+( \frac{1}{5! \cdot 5}-\frac{1}{7! \cdot 7} )+( \frac{1}{9! \cdot 9}-\frac{1}{11! \cdot 11} )+ .... \right]> \\ >\frac{3}{2}( \frac{1}{1! \cdot 1}-\frac{1}{3! \cdot 3} ) =1 \frac{5}{12} }\)

Ad 1. Nieprawda, że nieprawda:
`sin x<x-{x^3}/{3!}+{x^5}/{5!}` więc `\int_0^\pi {\sin x}/{x}dx<\int_0^\pi (1-{x^2}/{3!}+{x^4}/{5!} )dx=\pi -{\pi^3}/{18}+{\pi^5}/{600}\approx 1.9291`

Ad 2 SInus jest wklęsły w przedziale `(0.\pi/2)`, jego wykres leży zatem nad prostą łączącą punkty `(0,0)` i `(\pi/2,1)`. Stąd nierówność `\sin x>{2}/{\pi}x`, znan jako nierówność Jordana . Zatem
`\int_0^{\pi/2} {\sin x}/{x}dx>\int_0^{\pi/2}{2}/{\pi} dx=1`

https://www.wolframalpha.com/input?i=f%28x%29%3Dint+sin%28x%29%2Fx+dx
Dodano po 30 sekundach:
Już po falkach widać, że dwójka jest nieosiągalna...

Formalnie: Skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ \pi -{\pi^3}/{18}+{\pi^5}/{600} < 2}\)

`3.15-3.14^3/18+3.15^5/600=1.94694158836805(5)`

Ależ się uśmiałem ze swojego błędu. Dzięki za sprostowanie.