Całki dla smakoszy
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11503
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3163 razy
- Pomógł: 749 razy
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11503
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3163 razy
- Pomógł: 749 razy
Re: Całki dla smakoszy
To funkcja odwrotna do funkcji cosinus hiperboliczny na dziedzinie \(\displaystyle{ (0, +\infty)}\)co to jest arc ch
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Całki dla smakoszy
Więc to powinno tak wyglądać:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{2} \sqrt{x^2-1} \ln( \sqrt{x^2-1}+x)dx }\)
podstawienie:
\(\displaystyle{ x=\cos t}\)
\(\displaystyle{ dx=-\sin t dt , \sqrt{x^2-1} =i\sin t}\)
\(\displaystyle{ \ln( \cos t+i\sin t)=it}\)
zostanie taka całka po tych podstawieniach:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{a} t\sin^2 t dt}\)
\(\displaystyle{ a=\arccos(2)}\) - zespolone
czyli nie wdając się w rachunki mamy:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{a} t\sin^2 t dt= \frac{1}{4}a^2- \frac{1}{4} a \sin 2a- \frac{1}{8} \cos 2a+ \frac{1}{8} }\)
\(\displaystyle{ \int_{1}^{2} \sqrt{x^2-1} \ln( \sqrt{x^2-1}+x)dx }\)
podstawienie:
\(\displaystyle{ x=\cos t}\)
\(\displaystyle{ dx=-\sin t dt , \sqrt{x^2-1} =i\sin t}\)
\(\displaystyle{ \ln( \cos t+i\sin t)=it}\)
zostanie taka całka po tych podstawieniach:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{a} t\sin^2 t dt}\)
\(\displaystyle{ a=\arccos(2)}\) - zespolone
czyli nie wdając się w rachunki mamy:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{a} t\sin^2 t dt= \frac{1}{4}a^2- \frac{1}{4} a \sin 2a- \frac{1}{8} \cos 2a+ \frac{1}{8} }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22245
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3762 razy
Re: Całki dla smakoszy
Dla `1<x<2` podstawienie `x=\cos t` wygląda nader intrygująco.
Ostatnio zmieniony 8 gru 2021, o 14:10 przez a4karo, łącznie zmieniany 1 raz.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Całki dla smakoszy
dokładnie bo weszłem w zespolone...
mnie to też zaintrygowało dość mocno... i nadal intryguje...(oczy przecieram)
żeby wprowadzić jeszcze większe zamieszanie:
mnie to też zaintrygowało dość mocno... i nadal intryguje...(oczy przecieram)
żeby wprowadzić jeszcze większe zamieszanie:
Kod: Zaznacz cały
https://www.wolframalpha.com/input/?i=arccos%282%29%3D
Ostatnio zmieniony 8 gru 2021, o 14:17 przez arek1357, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 22245
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3762 razy
Re: Całki dla smakoszy
Podstawienie `x=\cosh t` powinno załatwić sprawę.
Dodano po 5 godzinach 23 sekundach:
\(\displaystyle{ x=\cosh t\\
dx=\sinh t dt\\
\sqrt{x^2-1}=\sinh t}\)
\(\displaystyle{ \int \sqrt{x^2-1}\,\mathrm{arcosh}(x) dx=\int t\sinh^2 xdx=\frac12\int t\cosh 2t dt-\frac12\int tdt}\).
Pierwszą całkę przez części, druga jest banalna. Obie loczymy w granicach od `0` do \(\displaystyle{ \mathrm{arcosh}\, 2=\ln(2+\sqrt3)}\)
Dodano po 9 minutach 1 sekundzie:
UWAGA: zapis `arc\ ch` jest niepoprawny. `arc` oznacza kąt, i dlatego funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych mają przedrotek `arc`: `\arcsin, \arccos`.
Wartości funkcji odwrotnych do funkcji hiperbolicznych mierzą pola pewnych obszarów związanych z hiperbolą, i dlatego do ich oznaczenia używany przedrostka `ar` (area).
Nazwy tych funkcji to area sinus hiperboliczny \(\displaystyle{ \mathrm{arsinh, arsh}}\), area kosinus hiperboliczny \(\displaystyle{ \mathrm{arcosh, arch}}\) itd.
Dodano po 5 godzinach 23 sekundach:
\(\displaystyle{ x=\cosh t\\
dx=\sinh t dt\\
\sqrt{x^2-1}=\sinh t}\)
\(\displaystyle{ \int \sqrt{x^2-1}\,\mathrm{arcosh}(x) dx=\int t\sinh^2 xdx=\frac12\int t\cosh 2t dt-\frac12\int tdt}\).
Pierwszą całkę przez części, druga jest banalna. Obie loczymy w granicach od `0` do \(\displaystyle{ \mathrm{arcosh}\, 2=\ln(2+\sqrt3)}\)
Dodano po 9 minutach 1 sekundzie:
UWAGA: zapis `arc\ ch` jest niepoprawny. `arc` oznacza kąt, i dlatego funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych mają przedrotek `arc`: `\arcsin, \arccos`.
Wartości funkcji odwrotnych do funkcji hiperbolicznych mierzą pola pewnych obszarów związanych z hiperbolą, i dlatego do ich oznaczenia używany przedrostka `ar` (area).
Nazwy tych funkcji to area sinus hiperboliczny \(\displaystyle{ \mathrm{arsinh, arsh}}\), area kosinus hiperboliczny \(\displaystyle{ \mathrm{arcosh, arch}}\) itd.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Całki dla smakoszy
Tylko czy nie lepiej od razu przez części
\(\displaystyle{ \int{\sqrt{x^2-1}\ln{\left( \sqrt{x^2-1}+x\right) }\mbox{d}x}=\\
x\sqrt{x^2-1}\ln{\left( \sqrt{x^2-1}+x\right) }-\int{x\left( \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\ln{\left( \sqrt{x^2-1}+x \right) }+1\right)\mbox{d}x }=\\
x\sqrt{x^2-1}\ln{\left( \sqrt{x^2-1}+x\right) }-\int{\frac{x^2}{ \sqrt{x^2-1} }\ln{\left( \sqrt{x^2-1} +x\right) }\mbox{d}x}- \int{x\mbox{d}x}= \\
x\sqrt{x^2-1}\ln{\left( \sqrt{x^2-1}+x\right) }-\int{\frac{\left( x^2-1\right)+1 }{\sqrt{x^2-1}}\ln{\left( \sqrt{x^2-1}+x \right) }}- \int{x\mbox{d}x}=\\
\int{\sqrt{x^2-1}\ln{\left( \sqrt{x^2-1}+x\right) }\mbox{d}x}=x\sqrt{x^2-1}\ln{\left( \sqrt{x^2-1}+x\right) }-\int{\sqrt{x^2-1}\ln{\left( \sqrt{x^2-1}+x\right) }\mbox{d}x}-\int{\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ln{\left( \sqrt{x^2-1} +x \right) }\mbox{d}x}- \int{x\mbox{d}x} \\
2\int{\sqrt{x^2-1}\ln{\left( \sqrt{x^2-1}+x\right) }\mbox{d}x}=x\sqrt{x^2-1}\ln{\left( \sqrt{x^2-1}+x\right) }-\int{\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ln{\left( \sqrt{x^2-1} +x \right) }\mbox{d}x}- \int{x\mbox{d}x} \\
2\int{\sqrt{x^2-1}\ln{\left( \sqrt{x^2-1}+x\right) }\mbox{d}x}=x\sqrt{x^2-1}\ln{\left( \sqrt{x^2-1}+x\right) }-\frac{1}{2}\ln^2{\left( \sqrt{x^2-1} +x\right) }-\frac{1}{2}x^2+C_{1}\\
\int{\sqrt{x^2-1}\ln{\left( \sqrt{x^2-1}+x\right) }\mbox{d}x}=\frac{1}{2}x\sqrt{x^2-1}\ln{\left( \sqrt{x^2-1}+x\right) }-\frac{1}{4}\ln^2{\left( \sqrt{x^2-1} +x\right) }-\frac{1}{4}x^2+C\\
}\)
Macie pomysł na taką całkę
\(\displaystyle{ \int{\frac{11^x}{2^x+5^x}\mbox{d}x} \\}\)
Zostałla mi ona do policzenia przy okazji liczenia innej całki
i jeżeli zdefiniujemy funkcje cyklometryczne tak aby zwracały kąt w mierze łukowej to nawet nazwa do nich pasuje
\(\displaystyle{ \int{\sqrt{x^2-1}\ln{\left( \sqrt{x^2-1}+x\right) }\mbox{d}x}=\\
x\sqrt{x^2-1}\ln{\left( \sqrt{x^2-1}+x\right) }-\int{x\left( \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\ln{\left( \sqrt{x^2-1}+x \right) }+1\right)\mbox{d}x }=\\
x\sqrt{x^2-1}\ln{\left( \sqrt{x^2-1}+x\right) }-\int{\frac{x^2}{ \sqrt{x^2-1} }\ln{\left( \sqrt{x^2-1} +x\right) }\mbox{d}x}- \int{x\mbox{d}x}= \\
x\sqrt{x^2-1}\ln{\left( \sqrt{x^2-1}+x\right) }-\int{\frac{\left( x^2-1\right)+1 }{\sqrt{x^2-1}}\ln{\left( \sqrt{x^2-1}+x \right) }}- \int{x\mbox{d}x}=\\
\int{\sqrt{x^2-1}\ln{\left( \sqrt{x^2-1}+x\right) }\mbox{d}x}=x\sqrt{x^2-1}\ln{\left( \sqrt{x^2-1}+x\right) }-\int{\sqrt{x^2-1}\ln{\left( \sqrt{x^2-1}+x\right) }\mbox{d}x}-\int{\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ln{\left( \sqrt{x^2-1} +x \right) }\mbox{d}x}- \int{x\mbox{d}x} \\
2\int{\sqrt{x^2-1}\ln{\left( \sqrt{x^2-1}+x\right) }\mbox{d}x}=x\sqrt{x^2-1}\ln{\left( \sqrt{x^2-1}+x\right) }-\int{\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ln{\left( \sqrt{x^2-1} +x \right) }\mbox{d}x}- \int{x\mbox{d}x} \\
2\int{\sqrt{x^2-1}\ln{\left( \sqrt{x^2-1}+x\right) }\mbox{d}x}=x\sqrt{x^2-1}\ln{\left( \sqrt{x^2-1}+x\right) }-\frac{1}{2}\ln^2{\left( \sqrt{x^2-1} +x\right) }-\frac{1}{2}x^2+C_{1}\\
\int{\sqrt{x^2-1}\ln{\left( \sqrt{x^2-1}+x\right) }\mbox{d}x}=\frac{1}{2}x\sqrt{x^2-1}\ln{\left( \sqrt{x^2-1}+x\right) }-\frac{1}{4}\ln^2{\left( \sqrt{x^2-1} +x\right) }-\frac{1}{4}x^2+C\\
}\)
Macie pomysł na taką całkę
\(\displaystyle{ \int{\frac{11^x}{2^x+5^x}\mbox{d}x} \\}\)
Zostałla mi ona do policzenia przy okazji liczenia innej całki
może i ja łaciny nie znam ale arc jest skrótem od łacińskiego arcus co oznacza łuk`arc` oznacza kąt
i jeżeli zdefiniujemy funkcje cyklometryczne tak aby zwracały kąt w mierze łukowej to nawet nazwa do nich pasuje
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Całki dla smakoszy
Ja bym to zamienił na:
\(\displaystyle{ \int \frac{e^{x\ln 11}}{e^{x\ln 5}+e^{x\ln 2}}dx }\)
potem bym podstawił:
\(\displaystyle{ e^x=t , dx= \frac{dt}{t} }\)
Otrzymamy całkę typu:
\(\displaystyle{ \int\frac{t^a}{(t^b+t^c)t}dt }\)
Co po prostych przekształceniach da całkę typu:
\(\displaystyle{ \int \frac{t^a}{t^b+1} dt}\)
wolfram daje wynik z mutacją funkcji gamma:
Dodano po 18 minutach 18 sekundach:
Mutacja ta jest nawet średnio zgrabnym szeregiem nieskończonym...
Dodano po 3 godzinach 1 minucie 26 sekundach:
Po skróceniach i obliczeniach wyszło mi:
\(\displaystyle{ \frac{t^{a+1}}{a+1} -t^{a+b+1} \sum_{i=0}^{ \infty } \frac{(-1)^i}{a+b+1+bi} t^{bi}}\)
Dodano po 6 minutach 8 sekundach:
Wyszło mi, że:
\(\displaystyle{ a=\ln \frac{11}{2} -1}\)
\(\displaystyle{ b=\ln \frac{5}{2} }\)
Dodano po 12 minutach 4 sekundach:
Po tych podstawieniach wyjdzie:
\(\displaystyle{ \frac{ \left( \frac{11}{2}\right) ^x }{\ln \frac{11}{2} } - \left( \frac{55}{4} \right)^x \sum_{i=0}^{ \infty } \frac{(-1)^i}{\ln \frac{55}{4}+i\ln \frac{5}{2} }\left( \frac{5}{2} \right)^{ix} }\)
O ile się gdzieś nie pomyliłem...
\(\displaystyle{ \int \frac{e^{x\ln 11}}{e^{x\ln 5}+e^{x\ln 2}}dx }\)
potem bym podstawił:
\(\displaystyle{ e^x=t , dx= \frac{dt}{t} }\)
Otrzymamy całkę typu:
\(\displaystyle{ \int\frac{t^a}{(t^b+t^c)t}dt }\)
Co po prostych przekształceniach da całkę typu:
\(\displaystyle{ \int \frac{t^a}{t^b+1} dt}\)
wolfram daje wynik z mutacją funkcji gamma:
Kod: Zaznacz cały
https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29%3Dt%5Ea%2F%28t%5Eb%2B1%29
Dodano po 18 minutach 18 sekundach:
Mutacja ta jest nawet średnio zgrabnym szeregiem nieskończonym...
Dodano po 3 godzinach 1 minucie 26 sekundach:
Po skróceniach i obliczeniach wyszło mi:
\(\displaystyle{ \frac{t^{a+1}}{a+1} -t^{a+b+1} \sum_{i=0}^{ \infty } \frac{(-1)^i}{a+b+1+bi} t^{bi}}\)
Dodano po 6 minutach 8 sekundach:
Wyszło mi, że:
\(\displaystyle{ a=\ln \frac{11}{2} -1}\)
\(\displaystyle{ b=\ln \frac{5}{2} }\)
Dodano po 12 minutach 4 sekundach:
Po tych podstawieniach wyjdzie:
\(\displaystyle{ \frac{ \left( \frac{11}{2}\right) ^x }{\ln \frac{11}{2} } - \left( \frac{55}{4} \right)^x \sum_{i=0}^{ \infty } \frac{(-1)^i}{\ln \frac{55}{4}+i\ln \frac{5}{2} }\left( \frac{5}{2} \right)^{ix} }\)
O ile się gdzieś nie pomyliłem...
Ostatnio zmieniony 15 gru 2021, o 11:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 22245
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3762 razy
Re: Całki dla smakoszy
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{x^n-x}=\int \frac{x^{n-1}+1-x^{n-1}}{x(x^{n-1}-1)}dx=\frac1{n-1}\int\frac{(n-1)x^{n-2}}{x^{n-1}-1}dx-\int\frac{dx}{x}\\
\frac1{n-1}\log(x^{n-1}-1)-\log x+C}\)
\frac1{n-1}\log(x^{n-1}-1)-\log x+C}\)
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Całki dla smakoszy
I co wątek stoi
Ostatnio z równania różniczkowego wyszła mi całka
\(\displaystyle{ \int{ \frac{e^{\arctg{x}}}{x^2} \mbox{d}x} }\)
Ostatnio z równania różniczkowego wyszła mi całka
\(\displaystyle{ \int{ \frac{e^{\arctg{x}}}{x^2} \mbox{d}x} }\)
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Całki dla smakoszy
Załatwia tę całkę podstawienie:
\(\displaystyle{ t=\arctg x}\)
Ale pojawia się:
hypergeometric function:
\(\displaystyle{ _{2}F_{1}(...)}\)
\(\displaystyle{ t=\arctg x}\)
Ale pojawia się:
hypergeometric function:
\(\displaystyle{ _{2}F_{1}(...)}\)
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Całki dla smakoszy
Arek po podstawieniu zaproponowanym przez ciebie dostaniemy
\(\displaystyle{ \int{\frac{e^{t}}{\sin^2{\left( t\right) }}\mbox{d}t}}\)
i jak z tego otrzymać funkcję hipergeometryczną ?
\(\displaystyle{ \int{\frac{e^{t}}{\sin^2{\left( t\right) }}\mbox{d}t}}\)
i jak z tego otrzymać funkcję hipergeometryczną ?