Całki dla smakoszy
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11436
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3156 razy
- Pomógł: 748 razy
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4079
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1396 razy
Re: Całki dla smakoszy
Bardziej w ramach ciekawski niż jako rozwiązanie; można uznać to za szczególny przypadek funkcji Nielsen'a Generalized Polylogarithm
A co do przypadków szczególnych to zwykle przydają się sztuczki w stylu: symetria względem \(\displaystyle{ 1-x}\), \(\displaystyle{ \frac{\log (1-x)}{1-x}\ =\ -\sum_{n=1}^{\infty}H_{n}x^{n}}\) czy rozwinięcie Taylora funkcji \(\displaystyle{ \ln^n(1+x)}\) (z użyciem liczb Stirling pierwszego rodzaju), \(\displaystyle{ \int^1_0 x^{k-1} \ln^n(x)\,dx = (-1)^n\frac{n!}{k^{n+1}}}\) (2 całka z książki C. I. Vălean'a, którą smakosze całek pewnie znają).
https://mathworld.wolfram.com/NielsenGeneralizedPolylogarithm.html
. Nawet w tak dużej ogólności istnieją reprezentacje (publikacje nie tak łatwo znaleźć) takiej całki - K.S. Kölbig, J.A. Mignaco & E. Remiddi, On Nielsen's generalized polylogarithms and their numerical calculation. BIT 10, 38–73 (1970).
Kod: Zaznacz cały
https://link.springer.com/article/10.1007/BF01940890
- K. S. Kölbig, Closed Expressions for Integral \(\displaystyle{ \int t^{-1} \log^{n-1} t \log^p (1 - t) \dd t}\), Math. Comp., 39 (1982), pp. 647-654.
Kod: Zaznacz cały
https://cds.cern.ch/record/131491/files/cer-000042056.pdf
\(\displaystyle{ \int\limits_0^1 \frac{\ln^n x \ln^2 (1+x) }{x}\; dx =2 (-1)^n
\left( \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k} \frac{H_k}{ k^{n+2}} +
\left(1-2^{-n-2} \right) \zeta(n+3) \right)n!. }\)
\left( \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k} \frac{H_k}{ k^{n+2}} +
\left(1-2^{-n-2} \right) \zeta(n+3) \right)n!. }\)
A co do przypadków szczególnych to zwykle przydają się sztuczki w stylu: symetria względem \(\displaystyle{ 1-x}\), \(\displaystyle{ \frac{\log (1-x)}{1-x}\ =\ -\sum_{n=1}^{\infty}H_{n}x^{n}}\) czy rozwinięcie Taylora funkcji \(\displaystyle{ \ln^n(1+x)}\) (z użyciem liczb Stirling pierwszego rodzaju), \(\displaystyle{ \int^1_0 x^{k-1} \ln^n(x)\,dx = (-1)^n\frac{n!}{k^{n+1}}}\) (2 całka z książki C. I. Vălean'a, którą smakosze całek pewnie znają).
Ostatnio zmieniony 15 lut 2024, o 06:36 przez admin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Usunięto aktywne linki do stron zewnętrznych!
Powód: Usunięto aktywne linki do stron zewnętrznych!