Całki dla smakoszy
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11473
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3157 razy
- Pomógł: 748 razy
Całki dla smakoszy
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} e^{-2x\arcsin x} \sin ^2x dx}\)
\(\displaystyle{ \int_{-2}^{0} \frac{\sqrt[3]{x-5}}{x^2+3x+2} dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{\sin x -\sin ^2x}}{\sqrt{\cos -\cos ^2x}} dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dx} {\sqrt{2-\ln x^3}}}\)
\(\displaystyle{ \int_{-2}^{0} \frac{\sqrt[3]{x-5}}{x^2+3x+2} dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{\sin x -\sin ^2x}}{\sqrt{\cos -\cos ^2x}} dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dx} {\sqrt{2-\ln x^3}}}\)
Ostatnio zmieniony 2 maja 2018, o 18:52 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Całki dla smakoszy
\(\displaystyle{ \int_{-2}^{0} \frac{\sqrt[3]{x-5}}{x^2+3x+2} dx}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{\sqrt[3]{x-5}}{x^2+3x+2} dx}\)
Podstawienie:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x-5}= t \Leftrightarrow x-5 = t^{ 3} \Leftrightarrow x = t^{ 3}+5}\)
\(\displaystyle{ dx= 3t^{2} dt}\)
Wracamy do calki:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{t}{(t^{ 3}+5)^2+3(t^{ 3}+5)+2} 3t^{2} dt}\)
A tutaj juz mamy calke wymierną. A taka calka to tylko rachunki.
Ciekawe czy da sie to jakos sprytniej zrobic;] hmmmmmmmmm
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{\sqrt[3]{x-5}}{x^2+3x+2} dx}\)
Podstawienie:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x-5}= t \Leftrightarrow x-5 = t^{ 3} \Leftrightarrow x = t^{ 3}+5}\)
\(\displaystyle{ dx= 3t^{2} dt}\)
Wracamy do calki:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{t}{(t^{ 3}+5)^2+3(t^{ 3}+5)+2} 3t^{2} dt}\)
A tutaj juz mamy calke wymierną. A taka calka to tylko rachunki.
Ciekawe czy da sie to jakos sprytniej zrobic;] hmmmmmmmmm
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11473
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3157 razy
- Pomógł: 748 razy
Całki dla smakoszy
No moznaa by tez rozbic \(\displaystyle{ \frac{1}{x^2+3x+2}}\) na
ulamki proste itd
ulamki proste itd
-
- Użytkownik
- Posty: 179
- Rejestracja: 10 mar 2009, o 15:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 29 razy
Całki dla smakoszy
Do ostatniego próbowałem tak:
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{\sqrt{2-\ln x^3}}\qquad=\qquad \int\frac{x\ dx}{x\sqrt{2-\ln x^3}}\qquad=\qquad}\)
Teraz biorę podstawienie \(\displaystyle{ 2-\ln x^3=t^2\qquad\Rightarrow\qquad -\frac{3}{x}\ dx=2t\ dt\qquad\Rightarrow\qquad \frac{dx}{x}=-\frac{2}{3}t\ dt}\)
\(\displaystyle{ 2-\ln x^3=t^2\qquad\Rightarrow\qquad \ln x=\frac{1}{3}(2-t^2)\qquad\Rightarrow\qquad x=e^{\frac{1}{3}(2-t^2)}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{\sqrt{2-\ln x^3}}\qquad=\qquad \int\frac{x\ dx}{x\sqrt{2-\ln x^3}}\qquad=\qquad -\frac{2}{3}\int\frac{e^{\frac{1}{3}(2-t^2)}\cdot t}{t}\ dt\qquad=\qquad -\frac{2}{3}\int e^{\frac{1}{3}(2-t^2)}\ dt}\)
... i tutaj stanąłem Czy to nie jest całka nieelementarna?
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{\sqrt{2-\ln x^3}}\qquad=\qquad \int\frac{x\ dx}{x\sqrt{2-\ln x^3}}\qquad=\qquad}\)
Teraz biorę podstawienie \(\displaystyle{ 2-\ln x^3=t^2\qquad\Rightarrow\qquad -\frac{3}{x}\ dx=2t\ dt\qquad\Rightarrow\qquad \frac{dx}{x}=-\frac{2}{3}t\ dt}\)
\(\displaystyle{ 2-\ln x^3=t^2\qquad\Rightarrow\qquad \ln x=\frac{1}{3}(2-t^2)\qquad\Rightarrow\qquad x=e^{\frac{1}{3}(2-t^2)}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{\sqrt{2-\ln x^3}}\qquad=\qquad \int\frac{x\ dx}{x\sqrt{2-\ln x^3}}\qquad=\qquad -\frac{2}{3}\int\frac{e^{\frac{1}{3}(2-t^2)}\cdot t}{t}\ dt\qquad=\qquad -\frac{2}{3}\int e^{\frac{1}{3}(2-t^2)}\ dt}\)
... i tutaj stanąłem Czy to nie jest całka nieelementarna?
Całki dla smakoszy
\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{\sin x -\sin ^2x}}{\sqrt{\cos -\cos ^2x}} dx}\)
Jedziemy:
Podstawienie:
\(\displaystyle{ t= \tg \frac{x}{2} \\
\cos x= \frac{1- t^{2}}{1+ t^{2}} \\
\sin x= \frac{2t}{1+ t^{2} } \\
dx= \frac{2dt}{1+ t^{2}} \\
\int_{}^{} \frac{\sqrt{(\frac{2t}{1+ t^{2} }) -(\frac{2t}{1+ t^{2} })^2}}{\sqrt{(\frac{1- t^{2}}{1+ t^{2}}) -(\frac{1- t^{2}}{1+ t^{2}})^2}} \frac{2dt}{1+ t^{2}}}\)
Po uproszczeniu:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{ \frac{ (t-1)^{2} }{ t- t^{3} } } \frac{2dt}{1+ t^{2}} \\
\int_{}^{} \sqrt{ \frac{ (t-1) }{ t(1+t)} } \frac{2dt}{1+ t^{2}}}\)
No i robimy podstawienie:
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{ (t-1) }{ t(1+t)} } =h}\)
Podnosimy do kwadratu:....i tak dalej powinno wyjsc reki sobie nie dam uciąć
Jedziemy:
Podstawienie:
\(\displaystyle{ t= \tg \frac{x}{2} \\
\cos x= \frac{1- t^{2}}{1+ t^{2}} \\
\sin x= \frac{2t}{1+ t^{2} } \\
dx= \frac{2dt}{1+ t^{2}} \\
\int_{}^{} \frac{\sqrt{(\frac{2t}{1+ t^{2} }) -(\frac{2t}{1+ t^{2} })^2}}{\sqrt{(\frac{1- t^{2}}{1+ t^{2}}) -(\frac{1- t^{2}}{1+ t^{2}})^2}} \frac{2dt}{1+ t^{2}}}\)
Po uproszczeniu:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{ \frac{ (t-1)^{2} }{ t- t^{3} } } \frac{2dt}{1+ t^{2}} \\
\int_{}^{} \sqrt{ \frac{ (t-1) }{ t(1+t)} } \frac{2dt}{1+ t^{2}}}\)
No i robimy podstawienie:
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{ (t-1) }{ t(1+t)} } =h}\)
Podnosimy do kwadratu:....i tak dalej powinno wyjsc reki sobie nie dam uciąć
Ostatnio zmieniony 4 paź 2015, o 22:47 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11473
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3157 razy
- Pomógł: 748 razy
Całki dla smakoszy
Panowie smakosze, temat stanął...
Przyznam, że sam jestem ciekaw jak sprytnie wyliczyć takie całeczki...
No oczywiście chciałbym poznać ciekawszy sposób na trzecią całkę... Drugą jeszcze da się znieść. A skąd masz te całki molu?
Przyznam, że sam jestem ciekaw jak sprytnie wyliczyć takie całeczki...
No oczywiście chciałbym poznać ciekawszy sposób na trzecią całkę... Drugą jeszcze da się znieść. A skąd masz te całki molu?
-
- Użytkownik
- Posty: 249
- Rejestracja: 18 sty 2009, o 19:10
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 20 razy
Całki dla smakoszy
a jakby tam wyznaczyć przed nawias\(\displaystyle{ \sin x}\) i \(\displaystyle{ \cos x}\) byśmy mieli \(\displaystyle{ \tg x}\)
później połowę kąta a później co ?, chyba lepszym pomysłem jest podstawienie uniwersalne
później połowę kąta a później co ?, chyba lepszym pomysłem jest podstawienie uniwersalne
Ostatnio zmieniony 4 paź 2015, o 22:47 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Całki dla smakoszy
Jeśli chodzi o rozwiązanie oryginalnych zadań, to trzeba chyba pamiętać, że te dwie pierwsze całki są niewłaściwe, a nie nieoznaczone. Wygląda na to, że pierwsza nie ma sensu (?!), bo przecież x jest w argumencie arcusa sinusa. Natomiast jeśli się rozbije drugą na 3 i odpowiednio przekształci, to wystarczy skorzystać z kryterium porównawczego pozbywając się odpowiednio pierwiastka z licznika i wychodzi, że ta całka nie istnieje (wszystkie 3 pola są nieskończone, ale jedno ma znak minus).
Pozdrawiam.
Pozdrawiam.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11473
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3157 razy
- Pomógł: 748 razy
Całki dla smakoszy
Oczywiscie, choc mnie bardfziej interesuje sama całka (tj nieoznaczona ) jako taka,
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11473
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3157 razy
- Pomógł: 748 razy
Całki dla smakoszy
Z różnych źródeł...A skąd masz te całki?
\(\displaystyle{ \int \frac{\cos ^2 (\ln (x))}{x} \ dx \\
\int \ln ^3 x dx \\
\int \frac{x^2(2+3x^2)}{4-x^2} dx}\)
Ostatnio zmieniony 4 paź 2015, o 22:48 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Całki dla smakoszy
W pierwszej można podstawić za logarytm ale przez części też można policzyć
\(\displaystyle{ \int \frac{\cos ^2 (\ln (x))}{x} \ dx\\
=\int\frac{\cos \left( \ln {x}\right) }{x} \cdot \cos \left( \ln {x}\right) \mbox{d}x =\sin \left( \ln {x}\right) \cos \left( \ln {x}\right) +\int\frac{\sin ^2\left( \ln {x}\right) }{x} \mbox{d}x \\
\int \frac{\cos ^2 (\ln (x))}{x} \ dx=\sin \left( \ln {x}\right) \cos \left( \ln {x}\right) +\int\left(\frac{1-\cos ^2 (\ln (x))}{x} \ dx\right) \\
2\int \frac{\cos ^2 (\ln (x))}{x} \ dx=\sin \left( \ln {x}\right) \cos \left( \ln {x}\right) +\ln \left( x\right) \\
\int \frac{\cos ^2 (\ln (x))}{x} \ dx=\frac{1}{2}\left(\sin \left( \ln {x}\right) \cos \left( \ln x\right) +\ln (x)\right) +C}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{\cos ^2 (\ln (x))}{x} \ dx\\
=\int\frac{\cos \left( \ln {x}\right) }{x} \cdot \cos \left( \ln {x}\right) \mbox{d}x =\sin \left( \ln {x}\right) \cos \left( \ln {x}\right) +\int\frac{\sin ^2\left( \ln {x}\right) }{x} \mbox{d}x \\
\int \frac{\cos ^2 (\ln (x))}{x} \ dx=\sin \left( \ln {x}\right) \cos \left( \ln {x}\right) +\int\left(\frac{1-\cos ^2 (\ln (x))}{x} \ dx\right) \\
2\int \frac{\cos ^2 (\ln (x))}{x} \ dx=\sin \left( \ln {x}\right) \cos \left( \ln {x}\right) +\ln \left( x\right) \\
\int \frac{\cos ^2 (\ln (x))}{x} \ dx=\frac{1}{2}\left(\sin \left( \ln {x}\right) \cos \left( \ln x\right) +\ln (x)\right) +C}\)
Ostatnio zmieniony 4 paź 2015, o 22:48 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.