Matematyka.pl

Proszę o pomoc w dotarciu do metody rozwiązywania takich zadań: Oblicz całkę \(\displaystyle{ \int_{L}^{} \frac{z-1}{ z^{3}+9z } gdzie L=\left\{ z:\left| z-5i\right|=3 \right\}}\) wiem, że należy skorzystać ze wzoru Cauchy'ego. Przekształcić wzór mogę tak, aby to zastosować, ale nie mam pojęcia jak podejść do tego L, jakie ma ono znaczenie? Pamiętam tylko, że się sprawdzało czy należy do okręgu, czy nie, ale nie wiem jak to zastosować.

\(\displaystyle{ \int_{L}^{} \frac{z-1}{ z^{3}+9z }= \int_{L} \frac{z-1}{z\left( z+3j\right)\left( z-3j\right) }}\)

czyli masz punkty osobliwości \(\displaystyle{ -3j,0,3j}\)
teraz patrzysz, czy te 3 punkty znajdują się na polu ograniczonym przez \(\displaystyle{ L}\) (a jedynym taki punktem jest \(\displaystyle{ 3j}\))

Więc ta całka będzie równa

\(\displaystyle{ \int_{L}^{} \frac{z-1}{ z^{3}+9z }\dd{z}=\int_{L} \frac{ \frac{z-1}{z\left( z+3j\right) } }{z-3j}\dd{z}=2\pi j \frac{3j-1}{3j(3j+3j)}}\)