Matematyka.pl

Witam

Mam za zadanie:
Za pomocą całki potrójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
\(\displaystyle{ z= \sqrt{5-x^2-y^2}}\) oraz \(\displaystyle{ z= \frac{1}{2} \sqrt{x^2+y^2}}\)
Zasadniczo to nie wem jak się do tego zabrać. Widać tu, że obie te powierzchnie to półsfery, nie wiem jak sprawdzić rzutowanie- tzn rzutowanie wszystkich punktów tej bryły na płaszczyznę Oxy. Przyrównać do siebie oba \(\displaystyle{ z}\)?
Poza tym, gdybyśmy mieli np tylko jedną powierzchnię, np \(\displaystyle{ z= \sqrt{5-x^2-y^2}}\) ograniczoną od dołu \(\displaystyle{ z=0}\) to jak wtedy policzyć rzutowanie? czyli współrzędne \(\displaystyle{ x,y}\) wszystkich punktów z danej bryły?
Następnie- jak jest ograniczone \(\displaystyle{ z}\)- od \(\displaystyle{ z= \frac{1}{2} \sqrt{x^2+y^2}}\) do \(\displaystyle{ z= \sqrt{5-x^2-y^2}}\)? jakie przedziały ma tutaj więc \(\displaystyle{ r}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha}\)?

Będę wdzięczny za pomoc - najlepiej za wyznaczenie gotowej całki - z ograniczeniami \(\displaystyle{ r}\), \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ z}\) - dla współrzędnych walcowych.
A może trzeba to zrobić z współrzędnych sferycznych?

makuf pisze: Zasadniczo to nie wem jak się do tego zabrać. Widać tu, że obie te powierzchnie to półsfery,

Pierwsza to rzeczywiście połsfera ale druga to stożek obrotowy. Obie maja tę samą oś obrotu. (z=0). Objętośc nimi ograniczona to taki odwrócony stożek (o wierzchołku w początku układu) nakryty od góry krzywizną sfery.

Przyrównać do siebie oba \(\displaystyle{ z}\)?

To dobry pomysł. Znajdziesz równanie ich części wspolnej czyli krzywą ograniczającą obszar całkowania.
Jest to okrąg \(\displaystyle{ x^2+y^2=4}\)
Stąd całka potrójna liczona w zwykłym układzie wspołrzednych na granice całowania:
\(\displaystyle{ -2 \le x \le 2}\)
\(\displaystyle{ -\sqrt{4-x^2} \le y \le \sqrt{4-x^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sqrt{x^2+y^2} \le z\le \sqrt{5-x^2-y^2}}\)

Poza tym, gdybyśmy mieli np tylko jedną powierzchnię, np \(\displaystyle{ z= \sqrt{5-x^2-y^2}}\) ograniczoną od dołu \(\displaystyle{ z=0}\) to jak wtedy policzyć rzutowanie? czyli współrzędne \(\displaystyle{ x,y}\) wszystkich punktów z danej bryły?

Wstawiasz z=o i otrzymujesz równanie okręgu ograniczajacego Twój obszar całkowania

A może trzeba to zrobić z współrzędnych sferycznych? \(\displaystyle{ z= \sqrt{5-x^2-y^2}}\) oraz \(\displaystyle{ z= \frac{1}{2} \sqrt{x^2+y^2}}\)

Mozna zarówno w sferycznych jak i walowych.
Spróbuj sam wiedząc jak wygląda ta objętość.

Dzieki wielkie za pomoc
A moglby jeszcze wyznaczyc dla wspolrzednych walcowych \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ r}\)?
tak dla pewnosci, bo nie mam odpowiedzi do tego zadania, wiec nie mam pewnosci czy dobrze wyznacze.

Mam we współrzędnych biegunowych.

Objętość to całka z różnicy: \(\displaystyle{ \int \int _D (\sqrt{5-x^2-y^2} - \frac{1}{2} \sqrt{x^2+y^2}) ~d A}\).

Jeśli zrobisz rysunek, zobaczysz, że brzeg \(\displaystyle{ D}\) to rzut krzywej będącej przecięciem obu powierzchni.

Przechodząc na współrzędne biegunowe, mamy stożek dany przez \(\displaystyle{ z=r}\), a półsferę przez \(\displaystyle{ z = \sqrt{1-r^2}}\).

Aby znaleźć przecięcie, przyrównujemy oba \(\displaystyle{ z}\)ety:

\(\displaystyle{ r = \sqrt{5-r^2}}\), \(\displaystyle{ r = \sqrt{2,5}}\)

Więc \(\displaystyle{ D}\) jest okręgiem o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{2,5}}\).

\(\displaystyle{ D = \left\{ (r, \phi) : \ 0 \le \phi \le 2 \pi, \ \ 0 \le r \le 2,5 \right\}}\)

Czyli \(\displaystyle{ V = \int \int _D (\sqrt{5-r^2} - r) ~d A = \int _0 ^{2 \pi} \int_0 ^{\sqrt{2,5}}( \sqrt{5-r^2} - r) r ~d r ~d \phi}\)


Trochę się spóźniłam, ale wstawie i tak.

Ponieważ (pewnie przy przepisywaniu ) zapomniałaś o 1/2 w równaniu stożka to jest ciut innaczej :
\(\displaystyle{ V = \int _0 ^{2 \pi} (\int_0 ^{2}( \sqrt{5-r^2} - \frac{1}{2} r) r ~d r ) ~d \phi}\)

Ale to miało być zrobiono za pomocą całki potrójnej, a nie we współrzędnych biegunowych i za pomocą całki podwójnej jak tu widać. Więc już nic z tego nie rozumiem

Jedno całkowanie Ci odpuściliśmy.

Reasumując:
współrzędne kartezjańskie:
\(\displaystyle{ V= \int_{-2}^{2}\left( \int_{- \sqrt{4-x^2} }^{\sqrt{4-x^2}} \left( \int_{ \frac{ \sqrt{x^2+y^2} }{2} }^{ \sqrt{5-x^2-y^2}} 1 \mbox{d}z \right) \mbox{d}y \right) \mbox{d}x}\)

współrzędne cylindryczne :
\(\displaystyle{ V= \int_{0}^{2 \pi }\left( \int_{0 }^{ 2 } \left( \int_{ \frac{r}{2} }^{\sqrt{5-r^2}} 1 \cdot r \mbox{d}z \right) \mbox{d}r \right) \mbox{d} \alpha}\)

współrzędne sferyczne :
\(\displaystyle{ V= \int_{0}^{2 \pi }\left( \int_{0 }^{ \sqrt{5} } \left( \int_{ \arctan \frac{1}{2} }^{ \frac{ \pi }{2} } 1 \cdot r ^{2} \sin \beta \mbox{d} \beta \right) \mbox{d}r \right) \mbox{d} \alpha}\)