całka z pierwiastkiem
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
całka z pierwiastkiem
Wskazówka :\(\displaystyle{ t^{2}=4x^{2}+1}\)
Wyznacz x i dx. Otrzymasz całkę do arcsin.
Wyznacz x i dx. Otrzymasz całkę do arcsin.
- cosinus90
- Użytkownik
- Posty: 5030
- Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 777 razy
całka z pierwiastkiem
Zgadzam się z meninio, wtedy po podstawieniu korzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ 1+ \sinh ^{2} \alpha = \cosh ^{2} \alpha}\) , upraszczamy i po wyliczeniu całki powracamy do zmiennej x za pomocą funkcji odwrotnej area.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
całka z pierwiastkiem
Pierwsze podstawienie Eulera też będzie dobre
\(\displaystyle{ \sqrt{1+4x^2}=t-2x}\)
Można też wstępnie przez części i dopiero pierwsze podstawienie Eulera
\(\displaystyle{ \int{ \sqrt{1+4x^2} \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{1+4x^2}=t-2x}\)
\(\displaystyle{ 1=t^2-4xt}\)
\(\displaystyle{ t^2-1=4xt}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{t^2-1}{4t}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{1+4x^2}=t-2x=t- \frac{t^2-1}{2t}= \frac{t^2+1}{2t}}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}x = \frac{8t^2-4t^2+4}{16t^2} \mbox{d}t}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}x = \frac{t^2+1}{4t^2} \mbox{d}t}\)
\(\displaystyle{ \int{ \frac{ \left(t^2+1 \right)^2 }{8t^3} \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{8} \int{ \frac{ t^4+2t^2+1 }{t^3} \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{8} \int{ t+ \frac{2}{t}+ \frac{1}{t^3} \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{8} \left( \frac{t^2}{2}+2\ln{ \left|t \right|- \frac{1}{2t^2} } \right)+C}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{16} \left( t^2+4\ln{ \left|t \right|- \frac{1}{t^2} } \right)+C}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{4} \left(2x \sqrt{1+4x^2}+\ln{ \left|2x+ \sqrt{1+4x^2} \right| } \right)+C}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{1+4x^2}=t-2x}\)
Można też wstępnie przez części i dopiero pierwsze podstawienie Eulera
\(\displaystyle{ \int{ \sqrt{1+4x^2} \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{1+4x^2}=t-2x}\)
\(\displaystyle{ 1=t^2-4xt}\)
\(\displaystyle{ t^2-1=4xt}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{t^2-1}{4t}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{1+4x^2}=t-2x=t- \frac{t^2-1}{2t}= \frac{t^2+1}{2t}}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}x = \frac{8t^2-4t^2+4}{16t^2} \mbox{d}t}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}x = \frac{t^2+1}{4t^2} \mbox{d}t}\)
\(\displaystyle{ \int{ \frac{ \left(t^2+1 \right)^2 }{8t^3} \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{8} \int{ \frac{ t^4+2t^2+1 }{t^3} \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{8} \int{ t+ \frac{2}{t}+ \frac{1}{t^3} \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{8} \left( \frac{t^2}{2}+2\ln{ \left|t \right|- \frac{1}{2t^2} } \right)+C}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{16} \left( t^2+4\ln{ \left|t \right|- \frac{1}{t^2} } \right)+C}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{4} \left(2x \sqrt{1+4x^2}+\ln{ \left|2x+ \sqrt{1+4x^2} \right| } \right)+C}\)
- cosinus90
- Użytkownik
- Posty: 5030
- Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 777 razy
całka z pierwiastkiem
Oczywiście, ale po to znamy inne metody żeby sobie upraszczać sprawę a nie komplikować, bo podstawienie Eulera co prawda jest uniwersalne, ale bardzo czasochłonne dlatego też dalej obstaję przy podstawieniu hiperbolicznym.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
całka z pierwiastkiem
cosinus90, tak ale funkcje hiperboliczne nie są wprowadzane
np w szkole średniej
Tutaj można też zastosować podstawienie \(\displaystyle{ 2x=\tan{t}}\)
Jak już stosować podstawienia hiperboliczne to czy nie lepiej przedstawić je
za pomocą funkcji wykładniczej
Tutaj podstawienie \(\displaystyle{ 4x=e^{t}-e^{-t}}\)
Ja uważam że jeśli już stosować podstawienie hiperboliczne to najlepiej
przedstawić je za pomocą funkcji wykładniczej ponieważ funkcję wykładniczą wszyscy
znają a funkcje hiperboliczne już nie
np w szkole średniej
Tutaj można też zastosować podstawienie \(\displaystyle{ 2x=\tan{t}}\)
Jak już stosować podstawienia hiperboliczne to czy nie lepiej przedstawić je
za pomocą funkcji wykładniczej
Tutaj podstawienie \(\displaystyle{ 4x=e^{t}-e^{-t}}\)
Ja uważam że jeśli już stosować podstawienie hiperboliczne to najlepiej
przedstawić je za pomocą funkcji wykładniczej ponieważ funkcję wykładniczą wszyscy
znają a funkcje hiperboliczne już nie
Ostatnio zmieniony 23 cze 2010, o 21:32 przez Mariusz M, łącznie zmieniany 1 raz.
- cosinus90
- Użytkownik
- Posty: 5030
- Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 777 razy
całka z pierwiastkiem
mariuszm, to niepoważny argument - a całki to się wprowadza w szkole średniej? Skoro rozmawiamy nt. podstaw matematyki wyższej to używam wiedzy i pojęć z tego zakresu.
I już nie mieszajmy koledze bo się zaraz totalnie zagubi
I już nie mieszajmy koledze bo się zaraz totalnie zagubi
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
całka z pierwiastkiem
No dobra scałkuje to teraz podstawieniem hiperbolicznym ale
specjalnie przedstawię je za pomocą funkcji wykładniczych
\(\displaystyle{ \int{ \sqrt{1+4x^2} \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ 2x= \frac{1}{2} \left(e^{t}-e^{-t} \right)}\)
\(\displaystyle{ 2 \mbox{d}x = \frac{1}{2} \left(e^{t}+e^{-t} \right) \mbox{d}t}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{8} \int{ \sqrt{ \frac{4+ \left(e^t-e^{-t} \right) ^2}{4} } \cdot \left(e^t+e^{-t} \right) \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{8} \int{ \left(e^{t}+e^{-t} \right)^2 \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{8} \int{ e^{2t}+2+e^{-2t} \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{8} \int{ \frac{1}{2} e^{2t}+2t- \frac{1}{2} e^{-2t} \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{16} \left(e^{2t}-e^{-2t}+4t \right)+C}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{16} \left( \left(e^{t}-e^{-t} \right) \left(e^{t}+e^{-t} \right) +4t \right)+C}\)
\(\displaystyle{ e^{t}-e^{-t}=4x}\)
\(\displaystyle{ e^{t}+e^{-t}=2 \sqrt{1+4x^2}}\)
\(\displaystyle{ 2e^{t}=4x+2 \sqrt{1+4x^2}}\)
\(\displaystyle{ e^{t}=2x+\sqrt{1+4x^2}}\)
\(\displaystyle{ t=\ln{ \left|2x+\sqrt{1+4x^2} \right| }}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{16} \left( 8x \sqrt{1+4x^2} +4\ln{ \left|2x+\sqrt{1+4x^2} \right| } \right)+C}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{4} \left( 2x \sqrt{1+4x^2}+\ln{ \left|2x+\sqrt{1+4x^2} \right| } \right)+C}\)
No i teraz pytanie czy podstawienie Eulera na pewno jest bardziej skomplikowane ?
specjalnie przedstawię je za pomocą funkcji wykładniczych
\(\displaystyle{ \int{ \sqrt{1+4x^2} \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ 2x= \frac{1}{2} \left(e^{t}-e^{-t} \right)}\)
\(\displaystyle{ 2 \mbox{d}x = \frac{1}{2} \left(e^{t}+e^{-t} \right) \mbox{d}t}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{8} \int{ \sqrt{ \frac{4+ \left(e^t-e^{-t} \right) ^2}{4} } \cdot \left(e^t+e^{-t} \right) \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{8} \int{ \left(e^{t}+e^{-t} \right)^2 \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{8} \int{ e^{2t}+2+e^{-2t} \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{8} \int{ \frac{1}{2} e^{2t}+2t- \frac{1}{2} e^{-2t} \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{16} \left(e^{2t}-e^{-2t}+4t \right)+C}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{16} \left( \left(e^{t}-e^{-t} \right) \left(e^{t}+e^{-t} \right) +4t \right)+C}\)
\(\displaystyle{ e^{t}-e^{-t}=4x}\)
\(\displaystyle{ e^{t}+e^{-t}=2 \sqrt{1+4x^2}}\)
\(\displaystyle{ 2e^{t}=4x+2 \sqrt{1+4x^2}}\)
\(\displaystyle{ e^{t}=2x+\sqrt{1+4x^2}}\)
\(\displaystyle{ t=\ln{ \left|2x+\sqrt{1+4x^2} \right| }}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{16} \left( 8x \sqrt{1+4x^2} +4\ln{ \left|2x+\sqrt{1+4x^2} \right| } \right)+C}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{4} \left( 2x \sqrt{1+4x^2}+\ln{ \left|2x+\sqrt{1+4x^2} \right| } \right)+C}\)
No i teraz pytanie czy podstawienie Eulera na pewno jest bardziej skomplikowane ?
-
- Użytkownik
- Posty: 2530
- Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 248 razy
całka z pierwiastkiem
To zależy co dla kogo jest bardziej skomplikowane. Możesz równie dobrze rozwiązać metodą całek stowarzyszonych. Myśleć wtedy za wiele nie trzeba, ale jest trochę liczenia.
- cosinus90
- Użytkownik
- Posty: 5030
- Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 777 razy
całka z pierwiastkiem
\(\displaystyle{ I = \int{ \sqrt{1+4x^2} \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ 2x = \sinh t \Leftrightarrow \dd x = \frac{1}{2} \cosh t \dd t}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ I = \int \sqrt{1+ \sinh ^{2}t } \cdot \frac{1}{2} \cosh t \dd t = \frac{1}{2} \int \cosh^2 t = \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}(1+\cosh 2t) \dd t = \frac{1}{4} \left( t + \frac{1}{2}\sinh 2t \right) + C = \frac{1}{4} \left[ \arsinh \left( 2x \right) + \frac{1}{2} \left( 4x + \sqrt{1+ 4 x^{2} } \right) \right] + C}\)
Wydaje mi się, że mój sposób jednak jest mniej skomplikowany;)
\(\displaystyle{ 2x = \sinh t \Leftrightarrow \dd x = \frac{1}{2} \cosh t \dd t}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ I = \int \sqrt{1+ \sinh ^{2}t } \cdot \frac{1}{2} \cosh t \dd t = \frac{1}{2} \int \cosh^2 t = \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}(1+\cosh 2t) \dd t = \frac{1}{4} \left( t + \frac{1}{2}\sinh 2t \right) + C = \frac{1}{4} \left[ \arsinh \left( 2x \right) + \frac{1}{2} \left( 4x + \sqrt{1+ 4 x^{2} } \right) \right] + C}\)
Wydaje mi się, że mój sposób jednak jest mniej skomplikowany;)
Ostatnio zmieniony 19 kwie 2013, o 22:08 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa zapisu funkcji.
Powód: Poprawa zapisu funkcji.
- meninio
- Użytkownik
- Posty: 1876
- Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 467 razy
całka z pierwiastkiem
Tylko czekałem kiedy użytkownik mariuszm wrzuci swoje dwa grosze do tego postu....
Dlatego na tę okoliczność przygotowałem specjalny wiersz:
Mariuszm na forum najlepiej wie
jak całki liczy się.......
Dlatego na tę okoliczność przygotowałem specjalny wiersz:
Mariuszm na forum najlepiej wie
jak całki liczy się.......