całka z funkcji wymiernych

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
steryd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 14 cze 2009, o 08:39
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 7 razy

całka z funkcji wymiernych

Post autor: steryd »

Bardzo proszę o pomoc. Przeliczyłem już mnóstwo tych całek, ale nie wiem jak rozłożyć ten mianownik. Bardzo proszę o jakieś naprowadzenie. Z góry dziękuje

\(\displaystyle{ \int \frac{2x-3}{x ^{2}-2x+5 }dx}\)
rodzyn7773
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1659
Rejestracja: 12 lip 2009, o 10:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice/Rawa Maz.
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 278 razy

całka z funkcji wymiernych

Post autor: rodzyn7773 »

\(\displaystyle{ \int \frac{2x-3}{x ^{2}-2x+5 }dx = \int \frac{2x-2}{x ^{2}-2x+5 }dx - \int \frac{1}{x ^{2}-2x+5 }dx}\)
Pierwsza całka z pochodnej funkcji logarytmicznej, druga z całka z całki funkcji wymiernej.
loitzl9006
Moderator
Moderator
Posty: 3050
Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Starachowice
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 816 razy

całka z funkcji wymiernych

Post autor: loitzl9006 »

W drugiej całce przedstaw mianownik jako
\(\displaystyle{ \left( x-1 \right) ^{2} + 2 ^{2}}\)

a całkę obliczasz, podstawiając najpierw \(\displaystyle{ x-1=t}\), a potem możesz np. skorzystać ze wzoru

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{t ^{2} + a ^{2} } \mbox{d}t = \frac{1}{a} \arc \tg \frac{t}{a} +C}\)
pawellogrd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 844
Rejestracja: 19 lis 2009, o 15:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 121 razy
Pomógł: 156 razy

całka z funkcji wymiernych

Post autor: pawellogrd »

U nas nie można było korzystać z takiego wzoru, więc pokażę jak tą drugą całkę można inaczej:

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{x ^{2}-2x+5 }dx = \int \frac{1}{(x-1)^2 +4 }dx = \left|\begin{array}{ccc} 2t=x-1 \\ dx=2dt \end{array}\right| = \int \frac{2}{4t^2 + 4 }dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t^2 + 1}dt = \frac{1}{2} arctgt = \frac{1}{2}arctg(\frac{x-1}{2})}\)
steryd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 14 cze 2009, o 08:39
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 7 razy

całka z funkcji wymiernych

Post autor: steryd »

Dziękuję bardzo
ODPOWIEDZ