Bardzo proszę o pomoc. Przeliczyłem już mnóstwo tych całek, ale nie wiem jak rozłożyć ten mianownik. Bardzo proszę o jakieś naprowadzenie. Z góry dziękuje
\(\displaystyle{ \int \frac{2x-3}{x ^{2}-2x+5 }dx}\)
całka z funkcji wymiernych
-
rodzyn7773
- Użytkownik
- Posty: 1659
- Rejestracja: 12 lip 2009, o 10:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice/Rawa Maz.
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 278 razy
całka z funkcji wymiernych
\(\displaystyle{ \int \frac{2x-3}{x ^{2}-2x+5 }dx = \int \frac{2x-2}{x ^{2}-2x+5 }dx - \int \frac{1}{x ^{2}-2x+5 }dx}\)
Pierwsza całka z pochodnej funkcji logarytmicznej, druga z całka z całki funkcji wymiernej.
Pierwsza całka z pochodnej funkcji logarytmicznej, druga z całka z całki funkcji wymiernej.
-
loitzl9006
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
całka z funkcji wymiernych
W drugiej całce przedstaw mianownik jako
\(\displaystyle{ \left( x-1 \right) ^{2} + 2 ^{2}}\)
a całkę obliczasz, podstawiając najpierw \(\displaystyle{ x-1=t}\), a potem możesz np. skorzystać ze wzoru
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{t ^{2} + a ^{2} } \mbox{d}t = \frac{1}{a} \arc \tg \frac{t}{a} +C}\)
\(\displaystyle{ \left( x-1 \right) ^{2} + 2 ^{2}}\)
a całkę obliczasz, podstawiając najpierw \(\displaystyle{ x-1=t}\), a potem możesz np. skorzystać ze wzoru
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{t ^{2} + a ^{2} } \mbox{d}t = \frac{1}{a} \arc \tg \frac{t}{a} +C}\)
-
pawellogrd
- Użytkownik
- Posty: 844
- Rejestracja: 19 lis 2009, o 15:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 121 razy
- Pomógł: 156 razy
całka z funkcji wymiernych
U nas nie można było korzystać z takiego wzoru, więc pokażę jak tą drugą całkę można inaczej:
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{x ^{2}-2x+5 }dx = \int \frac{1}{(x-1)^2 +4 }dx = \left|\begin{array}{ccc} 2t=x-1 \\ dx=2dt \end{array}\right| = \int \frac{2}{4t^2 + 4 }dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t^2 + 1}dt = \frac{1}{2} arctgt = \frac{1}{2}arctg(\frac{x-1}{2})}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{x ^{2}-2x+5 }dx = \int \frac{1}{(x-1)^2 +4 }dx = \left|\begin{array}{ccc} 2t=x-1 \\ dx=2dt \end{array}\right| = \int \frac{2}{4t^2 + 4 }dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t^2 + 1}dt = \frac{1}{2} arctgt = \frac{1}{2}arctg(\frac{x-1}{2})}\)