Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \int\frac{u^2}{(u^2-7)^2+4}du}\)

Ta calka pojawila sie po zamianie zmiennych w pewnej calce z pierwiastkiem. Nie znalazlam nigdzie zadnego algorytmu obliczania takch calek. Probowalam przez czesci - pudlo. Podstawienie funkcji cyklometrycznych tez nic dobrego nie daje. Wolfram daje odpowiedz z jednostka urojona, czyli pewnie mozna by rozlozyc funkcje podcalkowa na ulamki proste w \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\), a po scalkowaniu wrocic do \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Czy moze jednak da sie to jakos inaczej ugryzc?
Bylabym wdzieczna za podpowiedz.

Mianownik trzeba rozłożyć na iloczyn dwóch wielomianów rzeczywistych, a potem ułamki proste.
Rozkład nie wygląda ładnie:
`u^4+2\sqrt{53}u^2+53-(2\sqrt{53}+14)u^2`

Przeliczyłam to na metodą a4karo i wynik wyszedł paskudny:

\(\displaystyle{ \dfrac{\ln\left(x\cdot\left(x-\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{53}+7}\right)+\sqrt{53}\right)-\ln\left(x\cdot\left(x+\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{53}+7}\right)+\sqrt{53}\right)}{2^\frac{5}{2}\sqrt{\sqrt{53}+7}}+\dfrac{\arctan\left(\frac{\sqrt{2}\,x+\sqrt{\sqrt{53}+7}}{\sqrt{\sqrt{53}-7}}\right)+\arctan\left(\frac{\sqrt{2}\,x-\sqrt{\sqrt{53}+7}}{\sqrt{\sqrt{53}-7}}\right)}{2^\frac{3}{2}\sqrt{\sqrt{53}-7}}}\)

A on wychodzi paskudny. Jest taka stara czeska piosenka "Je jaka je" )